1.2.1 平面的基本性质与推论第二课时教案

§1.2.1 平面

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）知道平面是不加定义的概念，初步体会平面的基本属性；

（2）会用图形和字母表示平面，并能正确画出两个相交平面；

（3）会用图形语言、文字语言、符号语言准确的描述点、线、面关系的三个公理

2、过程与方法

通过观察周围实物，感知点、线、面之间的相互关系，并探究平面的表示方法及图形画法。

3、情感与价值

通过大量实例，感受点、线、面之间存在的客观现实和在数学问题中的重要意义。

二、教学重点、难点

重点：平面的基本性质及应用。

难点：1、文字语言、数学图形语言、符号语言在数学中的相互转化与应用；

2、利用三个公理证明公面、共点、和共线问题

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等。

2、教学用具：多媒体、正（长）方体模型、三角板

四、教学设计

（1）设置情景，导出问题

在上一章，我们从空间几何体的整体观察入手，认识了空间图形，掌握了其直观图的画法；今天我们将继续来学习空间中点、直线、平面之间的位置关系。

1、事例引入

长方体是我们非常熟悉的空间图形，它是由几个面构成的？（六个面）

这六个面给我们以平面的形象，在生活中还有哪些物体给我们平面的形象呢？

（课桌面、黑板面、地面、海面）

这些面是生活中所说的平面，但还不能算是数学意义上的平面。

2、平面的特征

几何中的平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点．一个平面可以把空间分成两部分，这正如直线是无限延伸的，一条直

线可以把平面分成两部分，我们所画的只是一条直线的一部分．因此，刚才所说的物体如果是平的，也只是它所在平面的一部分．

3、平面的画法及表示方法

观察：请从适当的角度和距离观察教室的桌面、黑板面、或者门的表面，他们呈现出怎样的形象？（它们呈现出平行四边形的形象）

我们常常把水平放置的平面通常画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长，如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画

DCBADFEBC

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

（2）自主探究，合理猜想

4．点、直线、平面之间的基本关系

空间图形的基本元素是点、直线、平面．从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示，

请大家思考并完成下表：

A

5、教材

例1 分析：（1）描述点与直线、平面的位置关系常用几种语言？

（2）图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：

①根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来；

②根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来。

课堂练习：课本

练习4

（3）协作交流，解决问题

6、平面的基本性质

问题：如何判断一条直线在平面内

(1)直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

(2)直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 这里的条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内; 结论是：直线（a）在平面（α）内．

符号语言：A∈a，B∈b且A∈α，B∈αa

图形语言：

这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平

面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．

问题：根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？

（1）经过空间一个已知点A可能有几个平面？

(2)经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？

（3）经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C）；

结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．

符号语言：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α。

图形语言：

公理2是确定平面位置的依据之一．

问题：如果两个不重合的平面有一个公共点，他们的位置关系如何？

把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？

因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 条件是：两平面（α、β）有一公共点（P），

结论是：它们有且只有一条过这个点的公共直线．

符号语言：P∈α，且P∈βl，且P∈l 图形语言：

Pl

公理3是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．

以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是

说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．

（4）形成结论，巩固升华

课堂练习：课本

练习1、2、3 （5）反思小结，布置作业

7、课时小结：（师生互动，共同归纳）

（1）本节课我们学习了哪些知识内容？

（2）三个公理的内容及作用是什么？

8、作业布置

（1）复习本节课内容；

（2）预***面内的两条直线有几种位置关系？

五、板书设计