1.1.1 构成空间几何体的基本元素第二课时教案

《立体几何初步》的教材分析与建议

-----人教社B版必修2 一．《立体几何初步》的地位与内容

1．立体几何初步的地位

数学是研究“数量关系”与“空间形式”的学科。通过立体几何的学习，可以更好的认识三维空间中的图形，培养空间想象能力、训练和发展推理论证能力、加强运用立体图形语言进行交流、沟通的能力，更是逐步建立几何直观素养的有力工具。

2．立体几何初步的内容安排与结构

教材中立体几何的内容安排体现的是从整体到局部的研究视角，遵循的是从具体到抽象的认识途径。首先在《必修2》中安排了空间几何体中的柱、锥、台，使得学生对立体图形先有一个整体、直观的认识；再之后是从局部、细节处以长方体为依托研究空间点、直线、面之间的位置关系，重点是学习更加抽象的平行、垂直两种特殊的位置关系。至于立体几何中关于空间中的距离和角度进行定量的计算则安排在选修的教材中，直接利用空间向量的知识求解，体现的是立体几何问题代数化的解决方案。

空间几柱、锥、台、柱、锥、台、球的表面直观图和三视图的画构成几何体的基本元素

平行投影与中心投

之间的位

点、线、面

平面的基本性质

确定平面的条件

空间平行直线及其传递性

空间中的平行关系

直线与平面平行的判定及性质

平面与平面平行的判定及性质

直线与平面垂直的判定及性质

平面与平面垂直的判定及性质

空间中的垂直关系

1

二．《立体几何初步》的教学要求

内容

《指导意见》

①

用实物模型，计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

空

②

能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）间

的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模几

型，会用斜二侧法画出它们的直观图。

何

③

通过观察两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解体

空间图形的不同表示形式

④

完成实习作业，如画出某些建筑物的视图与直观图

⑤

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积及体积的计算公式（不要求记忆公式）。

（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和定理：

点、

线、

面、

的

位

置

关

系

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（２）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

2

◆一个平面过另一个平面的垂直线，则两个平面垂直。

通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

【教学提示】

（1）立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，发展学生直观想象素养。本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。

（2）立体几何初步的教学应注意引导学生借助对实际模型的认识，将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以帮助学生以长方体的点、线、面的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。

（3）立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修中将用向量方法加以论证。

（4）有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择研究的课题，进行探究。

三．新教材对《立体几何初步》的教学要求

必修4 第十一章 立体几何初步

3

11.1 空间几何体

11.1.1 空间几何体与斜二测画法

11.1.2 构成空间几何体的基本元素

11.1.3 多面体与棱柱

11.1.4 棱锥与棱台

11.1.5 旋转体

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积

11.2 平面的基本事实与推论

11.3 空间中的平行关系

11.3.1 平行直线与异面直线

11.3.2 直线与平面平行

11.3.3 平面与平面平行

11.4 空间中的垂直关系

11.4.1 直线与平面垂直

11.4.2 平面与平面垂直

本章小结

教材编写解读；

（1）

通过大量的实物模型，或者是利用现代信息技术展示空间图形，让学生体会到

数学知识与实际生活的联系的同时，为学生提供大量的直观感受

（2）

更加突出的借助简单几何体中的点、线、面认识空间的元素及其之间的关系

（3）

设置了不同层度的探究问题

四.关于本章教学的一点想法

空间想象能力：就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力．在中学数学教学中，空间想象力主要包括下面四个方面的要求：

对基本的几何图形(平面与立体)必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系；

能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系；

能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系；

4

熟练的识图能力．即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系．

直观想象素养：是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

1.

关注学情的基础上，确定简单几何体的教学目标

了解不同学段对简单几何体的具体要求，理解和掌握简单几何体的结构特征，及其表面积与体积公式是高中教学的重点。

例1. 设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；

⑤各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；

⑥有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

其中真命题的序号是________．

例2．你能用韦恩图表示{长方体}、{正方体}、{正四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}、{直四棱柱}、{四棱柱}这几个集合之间的关系吗？

通过正面实物的引导，辅以对反面典型的剖析可以帮助学生准确的掌握棱柱、正多面体等等几何体的结构特征。

5

例3．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体

的体积为（

）

（A）223

（B）423

（C）22

2

23

32

2

侧(左)视图

23（D）

4

3

2

正(主)视图

俯视图

例4. 如图，正方体

的棱长为

，动点

，

在棱

上，动点

，

分别在棱

，

上，若

，

，

，

（

大于零），则四面体

的体积

了解祖暅原理在简单、以及复杂几何体体积推导过程中的重要作用，渗透解决立体几何体积问题，以及一般数学问题的基本思想和方法。从长方体得一般棱柱，从棱柱得棱锥，从棱锥得棱台，从圆柱、圆锥、牟合方盖得球体的结构特征多面体的体积，球体的体积。找到一个等高，等截面面积，体积容易求出的参照几何体

2.利用长方体，借助平行与垂直，渗透解决立体几何问题的基本思想和方法

《立体几何初步》研究的是三维空间抽象、复杂，它与二维平面在一些问题的结论、证明问题的方法、图形的表现形式都有不同，对学生的空间想象，推理论证，思维水平的发展都提出了更高的要求。

（1）

借助实物教具的演示、动画图形的演示、模具的制作、图形的绘制帮助学生建立丰

富的立体图形库，提高对三维图形的识别与理解

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（A）

与

，

，

都有关

（C）

与

有关，与

，

无关

（B）

与

有关，与

，

无关

（D）

与

有关，与

，

无关

（2）通过公理、定理、推论教学，使学生熟练进行文字语言、图形语言、符号语言的转化

例5.如图,三棱锥DABC，被一平面所截得的截面EFGH(点E,F,G,H分别在图中几何体的棱上)是一个平行四边形.求证: （1）CD∥平面EFGH

（2）

AB∥平面EFGH例6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，每个侧面均为

正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点. （Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；

（Ⅱ）求证：AB1平面A1EB；

例7.如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，

A1 B1 C1 E A D B C E是棱CC1上动点，F是AB中点

，ACBC2，AA14. （Ⅰ）求证：CF平面ABB1；

（Ⅱ）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；

例8.在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，P E D AB//CD，ADC90，ABADPD1，CD2. （Ⅰ）求证：BE//平面PAD； （Ⅱ）求证：BC平面PBD；

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C B A

例9.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出

AB//平面MNP的图形的序号是（ ）

A. ①、③ B. ①、④ C.②、③ D. ②、④

例10.如图，在四棱柱ABCDA1BCBAD90，ACBD. 11D1中，BB1底面ABCD，AD//BC，A1

D1 （Ⅰ）求证：B1C//平面ADD1A1；

B1 （Ⅱ）求证：ACB1D；

C1 A

D 是否垂直？DA2A（Ⅲ）若A1，判断直线B1D与平面ACD1B C

并说明理由.

例11．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB平面BCM．

C

C1 N

B

A

A1 M

B1 （Ⅰ）求证：平面B1BCC1平面A1ABB1；

（Ⅱ）求证：A1N//平面BCM；

（Ⅲ）若三棱柱ABCA1B1C1的体积为10，求棱锥C1BB1M的体积．

（3）创设生活、数学、科学的情境，帮助学生理解立体几何的结轮

（4）通过设置探究性的专题，培养学生思维的连续性

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