2.2.2 直线方程的几种形式教学设计(教案)

内部文件，版权追溯

内部文件，版权追溯

2.2.2.2 直线方程的一般式

示范教案

整体设计

教学分析

通过讨论直线的斜截式方程与二元一次方程的关系，归纳、总结出了结论：关于x、y的二元一次方程都表示一条直线，接着给出了直线的一般式方程的概念．

同时，我们还可以得到结论：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，即对于每一条直线都可求出它的方程，而且是二元一次方程．

三维目标

1．掌握直线方程的一般式；了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；培养学生树立辩证统一的观点；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

2．会将直线方程的特殊形式化成一般式；会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力；渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想．

重点难点

教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化．

教学难点：归纳出直线的一般式方程．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线的方程呢？这节课我们就来研究这个问题．

设计2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形．

(1)斜率是1，经过点A(1,8)；

(2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,7；

(3)经过两点P1(－1,6)、P2(2,9)；

(4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

xy由两个独立条件，请学生写出直线方程的“特殊”形式分别为y－8＝x－1、＋＝1、－77y－6x＋1＝、y＝x＋7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合．原9－62＋1来它们的方程化简后均可统一写成：x－y＋7＝0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式．

推进新课

新知探究

提出问题

写出二元一次方程的形式.

斜率存在的直线y＝kx＋b，斜率不存在的直线x＝x1都能写成二元一次方程的形式吗？

1

二元一次方程Ax＋By＋C＝，B不同时为总结直线与二元一次方程之间有什么关系？表示直线吗？

讨论结果：

(1)二元一次方程的形式：Ax＋By＋C＝0. (2)直线y＝kx＋b化为kx－y＋b＝0. 直线x＝x1化为x－0·y－x1＝0. 因此都能化为二元一次方程的形式，即有以下结论：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．

(3)关于x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，①

其中A，B不同时为0.下面分B≠0和B＝0两种情况加以讨论：

AC①当B≠0时，方程①可化为y＝－x－. BBAC这是直线的斜截式方程．它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．

BBC②当B＝0时，由于A，B不同时为0，必有A≠0，于是方程①可化为x＝－.它表示一A条与y轴平行或重合的直线．

根据以上讨论，我们又得到下面的结论：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．

(4)直线与二元一次方程的关系：

①直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；

②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．

22因此，关于x，y的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)叫做直线的一般式方程．

应用示例

思路1

3例1已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－，求此直线的一般式方程．

43解：由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理，得所求直线方程为3x＋4y－144＝0. 变式训练

21．过点A(4，－3)，且斜率为－的直线的一般式方程是______．

3答案：2x＋3y＋1＝0 2．过A(1,1)，B(－1,3)的直线的一般式方程是______．

答案：x＋y－2＝0

例2求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距．

22解：已知直线方程可化为y＝x＋2.所以直线l的斜率k＝，在y轴上的截距是2. 33点评：本题主要考查将直线的一般式方程化为斜截式方程．

变式训练

2

1．直线x－3y＋4＝0的斜率为______，倾斜角＝______. 3

30°

32．已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，求m、n的值．

答案：解法一：由截距意义，知直线经过A(－3,0)和Q(0,4)两点，

因此有－＋n×0＋12＝0，m×0＋n×4＋12＝0，

解得m＝4，n＝－3.

解法二：由截距已知，也可将mx＋ny＋12＝0化为截距式得x＋y－12＝1. m－12n－12m＝－3，因此有解得m＝4，－12n＝－3.

n＝4，



3

思路2

22例3 设直线l的方程为(m－2m－3)x＋(2m＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．

(1)l在x轴上的截距为－3；

(2)l的倾斜角为135°；

(3)直线l与x轴平行．

解：(1)由于l在x轴上的截距为－3，则l过点(－3,0)，

52∴(m－2m－3)(－3)＝2m－6，解得m＝－或m＝3(舍去)，

35∴m＝－. 3m－2m－3(2)由l的倾斜角α＝135°，则斜率k＝tan135°＝－1，∴－2＝－1，解得m2m＋m－1＝－2，或m＝－1(舍去)．

(3)由于l∥x轴，则l的斜率k＝0，

m－2m－3∴－2＝0解得m＝3或m＝－1(舍去)．

2m＋m－1点评：本题(1)易错认为m＝3也符合题意，通过(3)可以看出m＝3时，l与x轴平行，此时，l在x轴上不存在截距．

变式训练

1．直线Ax＋By＋C＝0，经过第一、二、三象限，则(

) A．AB>0 B．AB<0 C．AB＝0 D．A与B的符号不确定

A解析：由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k＝－>0，则AB<0. B答案：B 2．已知直线Ax＋By＋C＝0，

(1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；

(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交；

(3)系数满足什么条件时只与x轴相交；

(4)系数满足什么条件时是x轴；

(5)设P(x0，y0)为直线Ax＋By＋C＝0上一点，

证明这条直线的方程可以写成A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 答案：(1)C＝0；

(2)A≠0且B≠0；

(3)即B＝0且A≠0；

(4)A＝C＝0且B≠0；

(5)证明：∵P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，

∴Ax0＋By0＋C＝0，C＝－Ax0－By0. ∴A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.

知能训练

1．经过点A(8，－2)，且斜率为3的直线的一般式方程为______．

答案：3x－y－26＝0

4 22

2．经过点M(－3,0)，且与x轴垂直的直线的一般式方程为______．

答案：x＋3＝0 3．斜率为－4，且在y轴上的截距为7的直线的一般式方程为______．

答案：4x＋y－7＝0 4．在x、y轴上截距分别为3，－2的直线的一般式方程为______．

答案：2x－3y－6＝0 5．直线x－2y＋2＝0化为斜截式方程为______，化为截距式方程为______．

1xy答案：y＝x＋1 ＋＝1 2－216．已知直线ax＋my＋2a＝0(a≠0)过点(1，－3)，求此直线的斜率k. 解：由题意，得a－3m＋2a＝0，则m＝3a. ∴直线方程为ax＋3ay＋2a＝0，

又∵a≠0，∴整理，得x＋3y＋2＝0，化为斜截式，得

323x－3，∴k＝－. 333

拓展提升

已知直线l的方程为y＝mx＋(2m＋1)，若x∈(－1,1)时，y>0恒成立，求m的取值范围．

解：设f(x)＝mx＋(2m＋1)，当x∈(－1,1)时，f(x)>0恒成立，

即当x∈(－1,1)时，f(x)的图象位于x轴上方，

y＝－只需－，，

－m＋2m＋1≥0，即m＋2m＋1≥0，

1解得m≥－，

31即m的取值范围是[－，＋∞)．

3

课堂小结

本节课学习了：

1．直线的一般式方程；

2．直线的方程化为一般式方程；一般式方程化为斜截式方程和截距式方程．

作业

本节练习B 2,3题．

设计感想

本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→获得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳．两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式．直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化．引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时，渗透数形结合的数学思想．安排变式练习，培养学生解决问题的技能．

备课资料

直线方程的一般式是在学生学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式后的第5种形式．前4种形式都有其各自的优点，那么为什么还要学习一般式呢？实际上直线方程的一般式有其他4种形式无法实现的一个优点，它能表示平面内的任意一条直线．针对这个

5

特点就想到先让学生寻找4种形式的不完备之处，那就是它们都有一定的应用范围，进而提出问题：平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？再一次突出了4种直线方程的不完备之处，从而引起学生的疑惑与反思．由此引起学生的联想：是否有另一种直线方程能够表示平面内的任何一条直线？从而激发起学生学习研究的兴趣．这就是通过引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生不完备的地方能否给予改进、提高的想法，从而使学生有发现探求新知识的必要．这样新知识的出现就不是老师“塞”给学生的，“今天我们学习……”，而是知识研究的必然，它的出现就像清泉般慢慢地却极自然地流进学生的心田．

6