2.4.1 空间直角坐标系优质课教学设计

2.4空间直角坐标系

张士云

一、教学目标

(一)核心素养

通过这节课学习,理解空间直角坐标系的概念、体会平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系,会用三元有序实数组表示空间中的点,在直观想象、数学抽象中感受点的几何意义. (二)学习目标

1.了解平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系. 2.理解空间直角坐标系的概念. 3.掌握用三元有序实数组表示空间中的点的方法. (三)学习重点

1.右手直角坐标系的特点. 2.三元有序实数组的含义. 3.空间中的点的表示方法. (四)学习难点

1.左手系与右手系的差别. 2.三元有序实数组各元素的几何意义. 3.建立适当的空间直角坐标系确定空间中的点的坐标. 二、教学设计

(一)课前设计

1.预习

(1)读一读：阅读教材第134页至第136页,填空：

从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系. 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2)写一写：有序实数组的各元素名称是什么？

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空间一点M的坐标可以用三元有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标. 2.预习自测

（1）在空间过点M(1,2,3)作z轴的垂线,交z轴于点N,则垂足N的坐标为(

) A.(1,0,0)

B.(0,2,0)

C.(0,0,3)

D.(0,0,－3) 2.点P(a,b,c)到坐标平面zOx的距离为(

) A.a2c2

B.a

C.b

D.c

3.点P(1,2,3)关于平面xOy的对称点的坐标为(

) A.(1,2,3)

B.(3,2,1)

C.(3,1,2)

D.(1,2,3) (二)课堂设计

1.问题探究

探究一

重温数轴与平面,认识空间

●活动①数形结合,重温数轴

在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？

在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示. 【设计意图】回忆数轴与实数之间的关系,体会数形结合的思想. ●活动②数形结合,重温平面

在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？

在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直；②原点重合；③通常取向右、向上为正方向；④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). 【设计意图】回忆平面与实数对之间的关系,体会数形结合的思想. ●活动③类比推广,认识空间

在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来

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呢？

在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.

【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性. 探究二

探究建系与点的表示方法

●活动①认清方向、合理建系

观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.

图１

图２

观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长. 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系. 注意：在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差. 【设计意图】通过建系加深对空间几何性质的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫. ●活动②认清投影、分析点的位置特性

观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？

已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就

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唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示) 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系. 注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z). 【设计意图】通过有序数组加深对点的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫.

探究三

结合实例、探究空间中的点的表示方法

●活动①归纳梳理、理解提升

例１.如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.

图3 活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求. 解：D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B

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的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4；点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2). 点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征. 【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识. ●活动②互动交流、初步实践

例2.讲解课本例2. 活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy平面,其他不变,来看这15个点的坐标. 解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是11,,0);中层221,所以这四个钠原子所在位置的211111111坐标分别为(,0,)、(1,,)、(,1,)、(0,,);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,22222222与z轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(11,,1). 22思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy平面,结果会怎样呢？

解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部1111是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(,0,0)、(1,,0)、(,1,0)、(0,,0);上层的钠原22221子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别21111111为(0,0,)、(0,1,)、(1,0,)、(1,1,)、(,,);下层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,2222222111与轴交点的竖坐标是,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,)、(1,0,)、22211111(1,1,)、(0,1,)、(,,). 22222

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点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系. 【设计意图】通过讨论认识列举法与描述法的异同与表示集合中优劣,培养规范表达的基本功. 2.课堂总结

知识梳理

(1)空间直角坐标系的建立. (2)空间直角坐标系中点的坐标的确定. (3)空间直角坐标系中点的位置的确定. (4)中点公式：P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的中点的坐标为((5)空间直角坐标系中点的对称点的坐标. 重难点归纳

(1)题目若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内,并且充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标. (三)课后作业

基础型自主突破

1.空间两点A,B的坐标分别为(x,－y,z),(－x,－y,－z),则A,B两点的位置关系是(

) A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于z轴对称

D.关于原点对称

答案：B 解析：【知识点】点的对称性. 【数学思想】对称变换. 【解题过程】由A、B两点的坐标可知关于y轴对称. 点拨：根据点的对称性进行判断. 2.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是(

) A.|a|

B.|b|

C.|c|

D.以上都不对

答案：C. 解析：【知识点】点的坐标表示. 【数学思想】几何投影.

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x1x2y1y2z1z2,,). 222

【解题过程】设点P在平面xOy上的射影为P′,则|PP′|＝|c|. 点拨：根据点的坐标表示进行计算. 3.在空间直角坐标系中,点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是(

) A.(－2,1,－4)

B.(－2,－1,－4)

C.(2,－1,4)

D.(2,1,－4) 答案：A. 解析：【知识点】点的对称性. 【数学思想】对称变换. 【解题过程】过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点,又N(－2,1,0),所以对称点为P′(－2,1,－4),故选A. 点拨：根据点的坐标表示进行判断. 4.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如下图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为(

)

111111111A.0，2，2

B.2，0，2

C.2，2，0

D.2，2，2

答案：B. 解析：【知识点】中点公式. 【数学思想】几何中心. 10＋10＋00＋11， 0，【解题过程】A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点为. ，2，2,即222点拨：根据点的坐标表示进行计算. 5.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是(

) A.z轴

B.与平面xOy平行的一直线

C.平面xOy

D.与平面xOy垂直的一直线

答案：D. 解析：【知识点】点的坐标表示. 【数学思想】点动成线. 【解题过程】(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与平面xOy垂直的直线. 点拨：根据几何意义进行判断.

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6.在空间直角坐标系中,点(4,－1,2)关于原点的对称点的坐标是________. 答案：(－4,1,－2). 解析：【知识点】中点公式. 【数学思想】几何中心. 【解题过程】空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数,故点(4,－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1,－2). 点拨：根据中点公式进行计算. 能力型师生共研

7.点P(－3,2,1)关于Q(1,2,－3)的对称点M的坐标是________. 答案：(5,2,－7). 解析：【知识点】点的对称性. 【数学思想】对称变换. x－32＋y1＋z【解题过程】设M坐标为(x,y,z),则有1＝2,2＝2,－3＝2,解得x＝5,y＝2,z＝－7,所以M(5,2,－7). 点拨：根据中点公式进行计算. 18.如下图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,BP＝3BD′,则P点的坐标为________.

【知识点】点的对称性. 【数学思想】对称变换. 122【解题过程】过P作PP′⊥xOy平面,则PP′＝3.过P′作P′M∥AB,P′N∥BC,则MP′＝3,NP′＝3.221所以P点坐标为3，3，3. 点拨：根据点的对称性进行计算. 221答案：3，3，3. 探究型多维突破

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9.已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1,A1关于xOz平面的对称点为A2,A2关于z轴的对称点为A3,求线段AA3的中点M的坐标. 【知识点】点的对称性与中点公式. 【数学思想】对称变换. 【解题过程】因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4,－2,－3),点A1(4,－2,－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2,－3),点A2(4,2,－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4,－2,－3),所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0). 点拨：根据中点公式进行计算. 答案：(－4,0,0). 10.如下图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长均为2,侧棱AA1⊥底面ABC,建立适当的坐标系写出各顶点的坐标.

【知识点】点的对称性. 【数学思想】对称变换. 【解题过程】取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BO⊥AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.

因为三棱柱各棱长均为2,所以OA＝OC＝1,OB＝3,可得A(0,－1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,－1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2). 点拨：根据中点公式进行计算. 答案：A(0,－1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,－1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2). 自助餐

1.若点P(－4,－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为(

)

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A.7

B.－7

C.－1

D.1 答案：D. 解析：【知识点】点的对称性与中点公式. 【数学思想】对称变换. 【解题过程】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4,－2,－3),关于y轴的对称点坐标是(4,－2,－3),从而知c＋e＝1. 点拨：根据中点公式进行计算. 2.在如图2-3-7所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的主视图和俯视图分别为(

)

图2-3-7

A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

答案：D. 解析：【知识点】三维视图. 【数学思想】几何投影与仿射变换. 【解题过程】由三视图及空间直角坐标系可知,该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线),故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形,故俯视图是②.故选D. 点拨：根据几何意义进行判断. 3.已知点M到三个坐标平面的距离都是1,且点M的三个坐标同号,则点M的坐标为________. 答案：(1,1,1)或(－1,－1,－1). 解析：【知识点】点的坐标表示. 【数学思想】对称变换. 【解题过程】分别过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作与yOz平面,xOz平面,xOy平面平行的平面,三个平面的交点即为M点,其坐标为(1,1,1)；或过点(－1,0,0),(0,－1,0),(0,0,－1)作与yOz平面,xOz平面,xOy平面平行的平面,三个平面的交点即为M点,其坐标为(－1,－1,－1).

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点拨：根据几何意义进行判断. 4.已知点P′在x轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x轴,|PP′|=1,求点P的坐标为_________.

答案：(2,0,1)或(2,0,-1). 解析：【知识点】几何投影. 【数学思想】坐标表示. 【解题过程】点P在xOy平面的两侧都有可能,它的坐标为(2,0,1)或(2,0,-1). 点拨：根据几何意义进行计算. 5.如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标.

111答案：(1,1,),(,,1). 222解析：【知识点】几何投影. 【数学思想】坐标表示. 【解题过程】方法一:从图中可以看出E点在xOy平面上的射影为B,而B点的坐标为(1,1,0),E点的竖坐标为11,所以E点的坐标为(1,1,);F点在xOy平面上的射影为G,而G点的坐标为221111(,,0),F点的竖坐标为1,所以F点的坐标为(,,1). 2222方法二:从图中条件可以得到B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E为BB1的中点,F为D1B1的中点,由中点坐标公式得E点的坐标为((10101111)=(,,1). ,,222221111101)=(1,1,),F点的坐标为,,2222点拨：根据几何意义进行计算.

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6.如下图所示,AF,DE分别是⊙O,⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD＝8,BC是⊙O的直径,AB＝AC＝6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.

111答案：(1,1,),(,,1). 222解析：【知识点】几何投影. 【数学思想】坐标表示. 【解题过程】因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD,所以OE⊥平面ABC,又AF平面ABC,BC平面ABC,所以OE⊥AF,OE⊥BC,又BC是圆O的直径,所以OB＝OC,又AB＝AC＝6,所以OA⊥BC,BC＝62,所以OA＝OB＝OC＝OF＝32.

如图所示,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,所以A(0,－32,0),B(32,0,0),C(－32,0,0),D(0,－32,8),E(0,0,8),F(0,32,0). 点拨：根据几何意义进行计算.

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