3.三个正数的算术-几何平均不等式ppt配套教案板书设计

三个正数的算术-几何平均不等式

一、教学目标： 1、知识与技能：

（1）掌握三个正数的算术-几何平均不等式；

（2）能够证明三个正数的算术-几何平均不等式

（3）会应用此定理求某些函数的最值。 2、过程与方法：

通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。 3、情感、态度与价值观： 通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力。

二、教学重点：

三个正数均值不等式定理的应用。

三、教学难点：解题中的转化技巧。

四、教学方法：启发引导、合作探究 五、教学过程：

1、复习引入： 回顾：两个正数的均值不等式

abc3abc

（当且仅当abc时取猜想：对于3个正数如果a,b,cR，那么“=”）3是否成立？

2、合作探究

（1）分组探究，证明猜想：

a、b、c∈R+, 那么a3+b3+c3≥3abc, 当且仅当a=b=c时, 等号成立即可（参考公式:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)）

证明: a3b3c33abc

(ab)33a3b3ab2c33abc

(ab)3c33a3b3ab23abc

(abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc)

222(abc)a2abbacbcc3ab

(abc)(a2b2c2abbcca)1

222(abc)(ab)(bc)(ca)0,2

对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到

abc3abc

，当且仅当abc时取“=”

定理3

如果a,b,cR，那么3语言表述：

三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. a＋b＋c3变形：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc 3a1a2an推广：

≥

nN*,aiR,1in

n语言表述：

3、例题讲解： 例1、已知x、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz xyz3

证明：因为xyz>0，3

3所以（x+y+z）

xyz，27

3

即（x+y+z）27xyz3例2、

求函数 y2x2（x>0）的最小值，下面解法是否正确？为什么？

x123

解法1：由x0知2x20,0,0，则解法2：由x0知2x20,0,则xx2x

y2x2312122x2332x2334xxxxxy2x23333392x2332x233x2x2x2x2x2

ymin334当且仅当2x2ymin3333即x3时2x4

（师生共同总结此题规律，强调应用均值不等式求最值应满足条件“一正二定三相等”）

例3 、将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则

9333622

314x(a2x)(a2x)2a3

[]4327

a2a3当且仅当4xa2x,x时,Vmax

4、练习巩固：

练习：xyz

1）已知x，y，z0，则的最小值为____

yzx

4

2）若x0，则x2的最小值为_______

x1

23）若0x，则x(12x)的最大值为______

2

aVx(a2x)2,(0x)21V4x(a2x)(a2x)4627

5、师生合作总结： abc3abc,3

当且仅当abc时，等号成立。a＋b＋c3

定理3可变形为：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc 3(1) 若a,b.cR,那么(2)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析。

(3)运用三个正数的平均值不等式求最值时，仍要注意“一正、二定、三相等”。

作业：六、课后作业：

4

1)若x0，求yx23的最小值x

12)若0x，求yx(2x1)2的最大值213)若ab0，求证a3(ab)b