三 反证法与放缩法课堂实录【3】

三

反证法与放缩法教学设计

1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法．

2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

,

[学生用书P32])

1．反证法

证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为反证法．

2．放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法可归结为下面的步骤：反设、归谬、存真．(

) (2)利用放缩法时，要依据需要适当放缩，不能过度．(

) (3)假设欲证的命题是“若A，则B”，我们可以通过否定A来达到肯定B的目的．(

) (4)放缩法的实质是等价转化，有一定的准则和程序．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

2．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容是(

) A．3a＝3b

C．3a＝3b，且3a<3b

B．3a<3b

D．3a＝3b或3a<3b

答案：D 3．实数a，b，c不全为0的等价条件为(

) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 答案：D 123n4．设n∈N*，则有真分数不等式<<<…<<______；假分数不等式234n＋1n＋13

42>>>…>>______．

23nn＋1n＋2答案：

n＋2n＋1

利用反证法证明不等式[学生用书P33]

已知0

假设x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立，则三式相乘得xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.①

因为0

所以0

同理，0

所以三式相乘得0

②与①矛盾，故假设不成立．

所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.

用反证法证明不等式的策略

(1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(2)用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．

1.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．

求证：a，b，c不成等差数列．

证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，

又三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac.

所以a＋c＋2ac＝4ac，即a＋c－2ac＝0，

所以(a－c)2＝0，所以a＝c，即a＝c.

从而a＝b＝c，这与已知中a，b，c不成等差数列矛盾，

所以原假设错误，故a，b，c不成等差数列．

πππ2．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，236c中至少有一个大于零．

证明：假设a，b，c都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，

所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c

πππx2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋

＝236＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，

所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

故a，b，c中至少有一个大于0.

利用放缩法证明不等式[学生用书P33]

已知a，b，c∈R，求证：a2＋ab＋b2＋b2＋bc＋c2≥a＋b＋c. 【证明】

因为a＋ab＋b＝

b＋bc＋c＝

2222a＋b＋3b2，

242c＋b＋3b2，

242

所以a＋ab＋b≥

b＋bc＋c≥

2222a＋b＝a＋b≥a＋b.

22222c＋b＝c＋b≥c＋b.

222所以a2＋ab＋b2＋b2＋bc＋c2≥a＋b＋c.

放缩法证明不等式的技巧

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A

常用的放缩技巧有

(1)舍掉(加进)一些项．

(2)在分式中放大(缩小)分子(分母)．

(3)应用基本不等式进行放缩．

x＋yxy

1.设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A，B的大小关系为(

) 1＋x＋y1＋x1＋yA．A＝B

C．A≤B

B．A

D．A>B

x＋yxyxy解析：选B.因为x>0，y>0，所以B＝＋>＋＝＝A. 1＋x1＋y1＋x＋y1＋x＋y1＋x＋y（n＋1）22．已知n∈N＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）<. 2n＋n＋12n＋1证明：由基本不等式，得n（n＋1）<＝，

222n＋13＋5＋…＋（2n＋1）35所以1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）<＋＋…＋＝＝2222n（n＋2）n2＋2n（n＋1）2＝<，

222故原不等式成立．

1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设

常见词语

假设

至少有一个

一个也没有

至多有一个

有两个或两个以上

唯一一个

没有或有两个或两个以上

不是

是

不可能

有或存在

全

不全

都是否定

不都是

2.放缩法证明不等式的理论依据

(1)不等式的传递性．

(2)等量加不等量为不等量．

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

3．放缩法证明不等式常用的技巧

(1)增项或减项．

(2)在分式中增大或减小分子或分母．

a＋ba＋b2a＋b＋c3(3)应用重要不等式放缩，如a＋b≥2ab，ab≤，ab≤22，3≥abc(a，b，c>0)．

(4)利用函数的单调性等．

2211111．求证：<＋＋…＋<1(n>1，n∈N＋)．

2n＋1n＋22n证明：因为n>1，n∈N＋，

111111所以＋＋…＋<＋＋…＋＝1，

2nnnnn＋1n＋21111111＋＋…＋>＋＋…＋＝，

2n2n2n2n2n＋1n＋2所以原不等式成立．

1＋x1＋y2．已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证与中至少有一个小于2. yx1＋x1＋y1＋x证明：假设与均不小于2，即≥2，

yxy1＋y≥2，

x所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.

将两式相加得x＋y≤2，

与已知的x＋y>2矛盾，故假设不成立，

即1＋x1＋y与中至少有一个小于2. yx