学习总结报告公开课教案

一题一世界，反思境界升

——不等式的综合应用赏析

授课老师：李妙娟 授课班级：高一（1）班 授课时间：2019年4月11日星期四第三节

第一部分：课前导学案：（小组学案）

本章概览：不等式是高中数学的重要内容之一，在高考中占有非常重要的地位，一是不等式有广泛的实际应用，二是不等式起着承上启下的作用，一方面沟通函数的性质，是研究性质的重要工具，另一方面，不等式又能解决实际应用问题在本章，同学们应通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解常见不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程与函数之间的联系。

本章重点：不等式的性质，不等式解法，基本不等式

本章难点：不等式的基本性质和基本不等式与其他知识点的综合应用

根据学习要求仔细阅读课本和相关学习资料，以小组合作形式，完成以下问题

问题1：我们学习了不等式的哪些基本性质？

性质

1

2 3 4 5 6 7 8

具体名称

性质内容

注意事项

问题2：我们还学习了哪两个重要的不等式？从基本不等式出发有哪些常用的变形结论？请把具体的不等式形式写出来

（1）重要不等式：

；

（2）均值不等式：

；

（3）基本不等式的常用变形推论

问题2：在应用基本不等式时，特别要注意什么条件？为什么？

问题3：在学习过程中，你们发现不等式性质会与哪些数学内容强强联手？请根据你们归纳的情况各精选一道题目，以供大家分享。

我们发现不等式会在

中应用

例题：

问题4：根据你们所提供的题目，反思一下在解决问题的过程中应用了不等式哪些性质？解决以上问题时常常运用了哪些数学思想方法？

我们发现运用了不等式性质:

数学思想方法有：

。

问题5：谈谈你们的学习不等式心得和感悟。通过学习不等式，

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第二部分：课堂实录

（一学习目标

1、通过课堂自主学案的学习，进一步学习解决不等式与函数方程、不等式与解三角形、不等式与平面向量以及不等式与数列等综合问题。

2、通过具体问题的解决，培养分析问题，解决问题的能力，并养成严谨的逻辑推理能力，同时通过多样化的问题解决，拓展数学视野。

3、通过对每道题的解题归纳反思升华，提高数学解题能力，做到以一题之力带动一个问题世界，养成举一反三的能力。

二、课程重难点

重点：

不等式在函数与方程、解三角形、平面向量和数列中的应用

难点：灵活运用所给知识点的性质和不等式的性质解题，

如何实行“等”与“不等”的相互转化，同时注重在解题过程中数学思维的培养和数学思想的渗透。

三、温故知新，思维启动

1、回忆不等式的基本性质，并整理两个重要的不等式

（1）重要不等式： （2）基本不等式： （3）常用变形结论： 2、根据小组研究结果，从与不等式相关的目标问题来看主要有三类型：

（1）定范围——利用不等式确定变量或含有变量的表达式的取值范围，常见的有：确定函数的定义域或值域，确定某变量或参数的取值范围等等. （2）比大小——利用不等式比较两个量的大小，考察或论证函数的单调性，在数轴上排列点的次序，区分图形的位置顺序等

（3.）求最值——利用不等式中取等号的特殊情景，求变量或含有变量表达式的最大值或最小值，尤其是在平均值不等式中，利用“取等号”的条件求最值. 3、根据小组研究结果，从与不等式相关内容来看，主要贯穿于以下章节内容：

贯穿于集合，函数，数列，三角函数，平面向量，解三角形，立体几何和实际应用等问题中，所跨越的章节非常的宽阔

四、核心突破，讲练互动

类型一：不等式与函数和方程问题

问题1：已知函数f(x)（1）若函数f(x)（2）若对任意

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2kx(k0)

2x6km的解集为x2x3，使得，求5mx2kx30的解集取值范围

；

x[6,12]f(x)1恒成立，求的k

探究1：问（1）中若改为，求不等式的6mkx22kxm0解集，你会怎样求解？

k的探究2：问（2）中，若把条件改为“x3f(x)1若存在，使得成立”，怎样求取值范围？

归纳升华：函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。一般有两种手段——分参以及合参

若能化归为

“af(x)”型，则

一、恒成立

（1）xD,f(x)m恒成立

；（2）xD,f(x)m恒成立

；

二、能成立：

（1）存在x（2）存在xD,f(x)m能成立

；

D,f(x)m能成立

；

1200，ABC的平分线交AC于D，类型二：不等式与解三角形问题

问题2：在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，ABC且BD=1，则4ac的最小值为 。

指点迷津：（1）本题有几个条件？（2）这些条件可能的用法是什么？（3）角平分线可以怎么用？

（4）解三角形中的三大“神器”是哪些？（5）从目标问题看，若从函数角度分析，如何变形？若从二元变量求最值看，可以考虑哪个不等式的应用？

（6）你能想到多少种方法解题？

B

A

C

归纳升华：

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类型三：不等式与向量、三角、平几问题

问题3：

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为BOA为圆心的圆弧AB上运动，若OC1200，如图所示，点C在以O的最大值是 . xOAyOB，其中x,yR，则xy

指点迷津：（1）从目标问题看，此题与类型二是否同源？方法可否借鉴之？

（2）从条件结构看，此题具备更多的图形结构信息，从向量关系式看，同时具备

了数的特点，试试从形与数两个视角尝试解之；

（3）你能想到多少种解法？

探究1：若其他条件不变，求2x探究2：若把条件改为BOA探究3：若把问题改为BOA其中x,yB O A y的取值范围，该怎样解决？

600，其他的条件不变，那2xy的范围又是多少？

60，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，0R，若xy(0)存在最大值，则的取值范围是多少？那又该如何解决？

归纳升华：

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类型四：不等式与数列问题

问题4、（1）

已知数列a，通项公式ann2n1，其前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn4)(n1)73n对一切nN*恒成立，则实数的取值范围为（

）

A、3 B、

4 C、23 D、34

（2）已知正项等比数列a满足Sn33a12a20，若存在两项am,an，令aman4a1，

则1m4n4的最小值是（

）

A、9

B、9 C、3 D、

352（3）已知数列a满足an111,an13an1，a是等比数列，并求（1）证明：n2a的通项公式

n1113...（2）证明：aa2an2

1指点迷津：（1）对于问题（1）、（2），从目标问题看，一元变量可转化为函数恒成立或能成立问题，二元变量也可以把“不等关系”化归为确定“等量关系”进行求解；

（2）①对于问题（3）的第二问，等式左侧无法直接求和比较，考察不等式基本性质2：ab,bcac，可否引入中间量，使得不可求和的数列化归为可求和数列再进行比较？该引入哪个特殊数列？

归纳升华：

五、课堂小结

1．不等式综合问题体现在一是应用方面，运用不等式知识可解决求最值、范围等问题和一些实际问题；二是不等式与函数、方程、数列、几何等知识的交汇、转化。

2．不等式恒成立问题是常见题型，常用解法为：(])构造函数法，(2)分离变量法。

3. 函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、逻辑划分思想、函数建模思想是解决不等关系问题的重要思想方法,在解决不等关系的问题中发挥着至关重要的作用。

六、课后深化：《实验班》70页——71页1，3，5，7，8，9，10，11

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