一 比较法第二课时教学实录

第二讲

证明不等式的基本方法

一

比较法

教学目标：1.理解用比较法证明不等式的原理和思路

2.会运用比较法证明简单的不等式

教学重点：理解和掌握比较法证明不等式的依据

教学难点：数学转化思想的理解与应用

教学过程：

一、作差比较法

1.依据：

2.步骤：作差-变形-判断符号-下结论

3.例题分析

例题1．a2＋b2与2a＋2b－2的大小关系是(

) A．a2＋b2>2a＋2b－2 B．a2＋b2<2a＋2b－2 C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．a2＋b2≥2a＋2b－2 解析：选D.因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，

所以a2＋b2≥2a＋2b－2. 例题2．设0

B．b

C．c D．无法判断

解析：选C.因为b2－a2＝(1＋x)2－(2x)2＝1＋x2＋2x－2x＝1＋x2>0，所以b2>a2，又a>0，b>0，所以b>a. 22因为c－b＝11－（1－x）x1－x－(1＋x)＝1－x＝1－x. 由00，x2>0，

) 1

所以c－b>0即c>b. 4.课堂练习

练习1．若q>0且q≠1，m，n∈N＋，则1＋qA．1＋qB．1＋qC．1＋qm＋nm＋n与q＋q的大小关系是(

) mn>q＋q

mnmnmnm＋nm＋n＝q＋q

D．不能确定

解析：选A.1＋qm＋n－q－q＝q(q－1)－(q－1)＝(q－1)(q－1)．

mmnmnnnm①当01时，q>1，q>1，

所以(q－1)(q－1)>0，

所以1＋qm＋nnmnmn>q＋q.故选A. mn2．下列四个数中最大的是(

) A．lg 2 C．(lg 2) 2B．lg2 D．lg(lg 2) 1解析：选A.因为00，

2所以lg 2>lg 2. （lg 2）又因为＝lg 2<1，

lg 2lg(lg 2)<0，

所以lg 2最大．

【拓展提升】作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号. 二、作商比较法

1.依据

2 2

2.步骤

3.例题分析

例题1．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝A．M>N C．M≥N 解析：选A.因为M＝ab＋，N＝a＋b，则M与N的大小关系是(

) baB．M

D．M≤N

aa＋bb

ab，

＝（a＋b）（a－ab＋b）ab且M，N>0，a≠b，

Ma－ab＋b2ab－ab＝>＝1，

Nabab所以M>N. 112例题2．设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，试比较A，B的大小．

2a2ba＋ba＋bA2aba＋ba＋b（a＋b）24ab解：因为＝＝×＝≥＝1(当且仅当a＝b时，等号成立)．

B22ab24ab4aba＋b又因为B>0，所以A≥B. 4.课堂练习

练习1．设a>0，a≠1，0|loga(1＋x)|. |loga（1－x）|loga（1－x）证明：＝||＝|log(1＋x)(1－x)|，

|loga（1＋x）|loga（1＋x）因为01，0<1－x<1，

所以log(1＋x)(1－x)<0，

1所以|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)>log(1＋x)(1＋x)＝1，

1－x所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|. 练习2．设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，试比较c与a＋b的大小．

解：因为c是直角三角形的斜边长，a，b是直角边长，

3 333

所以a＋b>c，0

a3＋b3cac3＋bc3所以<ac2＋b3＝c2

＝a2＋b2c2＝1，

即a3＋b3c<1，故a3＋b3b>c>d>0，ad＝bc. (1)证明：a＋d>b＋c；

(2)比较aabbcddc与abbaccdd的大小．

解：(1)证明：由a>b>c>d>0，

得a－d>b－c>0，

即(a－d)2>(b－c)2. 由ad＝bc，得(a－d)2＋4ad>(b－c)2＋4bc，

即(a＋d)2>(b＋c)2. 故a＋d>b＋c. aabbcddca－bb－ad－cc－daabaccdd＝abcd＝ba－bdcc－d(2)b，

由(1)知a－b>c－d，且ab>1，

a－b所以a>ac－dbb，

a－b所以adc－dac－ddc－dadcbc>b－dc＝bc＝1. 故aabbcddc>abbaccdd. 4