三 反证法与放缩法教学设计实例

2.2.2反证法

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。

二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点

教学难点：正确理解、运用反证法

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、引入新课：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

（二）、探究新课

反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。

例1、已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25。

证明：假设命题的结论不成立，即a1，a2，a3，a4均不大于25，那么

a1a2a3a425252525100，

这与已知条件相矛盾。所以，a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25。

例2、求证：1，2，5不可能是一个等差数列中的三项。

证明：假设1，2，5是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则

21(qp)d，51(rp)d，于是

151qp。

rp因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。

所以，1，2，5不可能是一个等差数列中的三项。

例3、如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。

由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行。

故直线a，b相交，

设交点为A，A在直线b上，故A在平面α上。

所以，直线a与平面α相交于A。这与条件“直线a平行于平面α”矛盾。

因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。

（三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。

1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题. 2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。

(四)、练习：1、课本P15练习2。

2、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）

( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；

(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

（2）已知pq＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是

（ ）

（A）一定不大于2 （B）一定不大于22

（C）一定不小于22 （D）一定不小于2 解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）

3、

用反证法证明命题“如果ab,那么3a3b”时，假设的内容应为_____________. 解析：用反证法可得应填

3a3b或3a3b

4、如果a1为无理数，求证a是无理数. 提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q. 由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾. ∴

a是无理数. （五）、作业：课本P15习题1-3： 1、5 补充题：对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则

ka1(1)ykx1 由(3k2)x22kx20

④

22y1y2k(x1k2)2(2)y3x1yyxx21a12(3)222233由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤

由④知x1+x2=2k 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。

3k2故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。

五、教后反思：