二 一般形式的柯西不等式优秀完整教案

第三讲柯西不等式与排序不等式复习

一、复习目标

掌握柯西不等式的形式以及应用

掌握排序不等式以及应用

二、课时安排

1课时[来源学科网ZXXK]

三、复习重难点

掌握柯西不等式的形式以及应用

掌握排序不等式以及应用

四、教学过程

（一）知识梳理

（二）题型、方法归纳

利用柯西不等式证明简单不等式

排序原理在不等式证明中的应用

利用柯西不等式、排序不等式求最值

（三）典例精讲

题型一、利用柯西不等式证明简单不等式

柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．[来源:Zxxk.Com]

13b＋1＋13c＋1≤43. 例1已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：13a＋1＋

【规范解答】

因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(13a＋1，13c＋1)，

n＝(1,1,1)，

则|m·n|2＝(13a＋1＋13b＋1＋13c＋1)2，

|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)] ＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48. ∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，

∴(13a＋1)＋13b＋1＋13c＋1)2≤48，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≤43. [再练一题] a2b2a＋b1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥. a＋xb＋y2【证明】

∵a，b，x，y都大于0，

且x＋y＝a＋b. 由柯西不等式，知

[来源学科网]13b＋1，

a＋b[(a＋x)＋(b＋y)] a＋xb＋yab2·a＋x＋·b＋y≥

b＋ya＋x＝(a＋b)2. 又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，

a2b2a＋b所以＋≥. a＋xb＋y2题型二、排序原理在不等式证明中的应用

应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．

a2＋b2b2＋c2c2＋a2例2已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋. 2c2a2b【规范解答】

由于不等式关于a，b，c对称，

111可设a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2，≥≥. cba由排序不等式，得反序和≤乱序和，即

111111a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，

abcbca111111及a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·. abccab22

以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．

[再练一题] 2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 【证明】

不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，

运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4. 又a3≥b3≥c3＞0，

且ab≥ac≥bc＞0，

所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，

即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值

有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．

例3

设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值．

【规范解答】

由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知

13＋1＋

(a＋2b＋3c)3＝[(a)2＋(2b)2＋

(3c)2]?r(3?2＋12＋12)

3≥3·a＋1·2b＋1·3c2

3＝(3a＋2b＋c)2，

132∴(3a＋2b＋c)≤，

32133即3a＋2b＋c≤，

3当且仅当a2b3c＝＝时取等号．

113331又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝，c＝时，

231333a＋2b＋c取得最大值为. 3[再练一题] 3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.

【解】

a＋b＋c＋d＋e＝?a＋b＋c＋d＋e?2≤a2＋b2＋c2＋d2＋e212＋12＋12＋12＋12

≤16×5＝45，

所以a＋b＋c＋d＋e的最大值是45. （四）归纳小结

利用柯西不等式证明简单不等式

排序原理在不等式证明中的应用

利用柯西不等式、排序不等式求最值

（五）随堂检测

1．已知关于x的不等式|x＋a|

(1)求实数a，b的值；

(2)求at＋12＋bt的最大值．

【解】

(1)由|x＋a|

－b－a＝2，a＝－3，则解得

b－a＝4，b＝1.

(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t

≤[32＋12][4－t2＋t2] ＝24－t＋t＝4，

当且仅当4－tt＝，即t＝1时等号成立，

13故(－3t＋12＋t)max＝4. 2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；

11(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

49【解】

(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得

1a2＋1b2＋c2(4＋9＋1)≥

94

a×2＋b×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，即1a2＋1b2＋c2≥8. 32497

11ab23c8182118当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是. 2317774973．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是(

) 11A．2

B.

C.

D．4 24【解析】

∵4＝lg x＋lg y≥2lg x·lg y，

∴lg x·lg y≤4.

【答案】

D 4．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是(

) A．26 C．6 【解析】

(4a＋1＋4b＋1)2

＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2

≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1) ＝2[4(a＋b)＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，

当且仅当4b＋1＝4a＋1，

1即a＝b＝时等号成立．故选D. 2【答案】

D 5．数列{an}的通项公式an＝A．第9项

C．第10项

n1【解析】

an＝2＝≤90n＋90n＋n211＝，90610n×n[来源学*科*网]B.6 D．12 n，则数列{an}中的最大项是(

) n＋902B．第8项和第9项

D．第9项和第10项

90当且仅当n＝，即n＝310时等号成立．

n又n∈N＋，检验可知选D. 【答案】

D 五、板书设计

利用柯西不等式证明简单不等式

排序原理在不等式证明中的应用[来源:Z|xx|k.Com]

利用柯西不等式、排序不等式求最值

六、作业布置

本课单元检测

七、教学反思