探究与发现 子集的个数有多少优质课教案整理

《子集的个数有多少》教学设计

宁河县潘庄中学 啜晓龙

【课题】分类加法计数原理与分步乘法计数原理 探究与发现

子集的个数有多少

【教材】人教A版高中数学选修2-3 【课时】1课时

【教材分析】

子集的个数有多少是人教A版高中数学选修2-3第一章第一节后探究与发现的内容。在学习本节课之前学生已经学习了子集的概念，函数的概念，数学归纳法，分类加法计数原理与分步乘法计数原理等知识，对本节课证明子集个数的结论有了一定的知识储备。

本节课是选学内容，除了获得“n元集合的不同子集有2个”这一结论，主要是n从中可以使学生学到研究问题的方法：从具体事例的分析中得到猜想，再通过严格的数学推理获得一般的结论。本节课旨在通过学生课下查阅资料，培养学生学习的主动性，打开学生解决数学问题的思路；通过合作探究，使学生树立积极合作的意识，增强学生学习数学的热情和兴趣。通过证明结论，培养学生数学抽象、数学建模、逻辑推理的数学核心素养。

【学生学情分析】

课堂学生为普通高中校高二年级的学生，学生基础一般。学生在高一年级已经学习过人教A版必修一第一章集合与函数的概念第一节集合的内容，学习了关于集合的相关知识，包括子集的概念，对于子集的个数，学生只是记忆了一个结论，当时并没有能力证明这个结论。而且学习集合的相关内容还是在高一年级，对于此内容的记忆已经模糊，。

在本节课之前学生已经学习了函数的概念，数学归纳法，分类加法计数原理与分步乘法计数原理等知识，学生已经有能力在老师的点拨提示下完成结论的证明。

【学习目标】

1、会根据集合中元素个数求集合的子集个数；会将相关问题转化成子集个数的问题，利用结论解决问题；会证明子集个数的结论。

2、通过实际问题、特殊集合的子集个数和教师的引导启发，寻求一般集合的子集个数，通过合作探究证明结论。

3、通过学生开放式学习，培养学生学习的主动性，打开学生解决数学问题的思路；合作探究，使学生树立积极合作的意识，增强学生学习数学的热情和兴趣。

【学习重点】

学生能够利用已学知识，多视角证明子集个数的结论。

【学习难点】

通过证明子集个数的结论，培养学生数学抽象、数学建模、逻辑推理的数学核心素养。

【学习方法】

学生自学；合作探究

【课时安排】1课时

【教学准备】多媒体

【教学过程】

1,2,3,4,5,6，选择集合I的两个非空子集A和B，要使B中板书：引例：设集合I的最小的数大于A中的最大的数，共有多少中不同的选择方法？

1 1

证法一、从构造法和乘法原理的视角

提示：求集合的子集的过程实际是针对每一个元素“取”与“舍”的过程，是否能用分步乘法计数原理解决证明问题？

证法二、从分类和递推的视角

提示：按照集合中元素的个数从少到多的原则，考查每增加一个元素，增加后集合子集个数fn与增加前的集合子集个数fn1之间的关系。

证法三、从数学归纳法的视角

提醒：注意数学归纳法证明的步骤

证法四、组合数和二项式定理的视角

提示：如果按照集合的子集中元素的个数，能将集合的子集分成多少类？每一类如何表示？如何求和？

【教学设计说明】

子集的个数有多少，这个选学内容的内涵比较丰富，除了获得“n元集合的不同子集有2n个”这一结论，主要是从中可以使学生学到研究问题的方法：从具体事例的分析中得到猜想，再通过严格的数学推理获得一般的结论。学生在课下能自学完成课本中介绍的具体事例（3元集的子集问题），本节课旨在通过学生课下查阅资料，培养学生学习的主动性，打开学生解决数学问题的思路；通过合作探究，使学生树立积极合作的意识，增强学生学习数学的热情和兴趣。通过证明结论，培养学生数学抽象、数学建模、逻辑推理的数学核心素养。

本节课的目标定位在以下三个方面：一是通过合作探究，使学生树立积极合作的意识；二是巩固学生以前学习的知识，开阔学生解题思路；三是证明结论，培养学生数学抽象、数学建模、逻辑推理的数学核心素养。

2 2

【学习过程】

教学环节

教师活动

学生活动

设计目的

提出问题：

1、分类加法计数原理：完

成一件事情，有n类办法，

在第1类办法中有m1种不

同的方法，在第2类办法中

有m2种不同的方法……在思考以前学习过

的数学知识，说出

第n类办法中有mn种不同两个问题的概念

的方法。那么完成这件事共的要点来。举手回引导学生利用已复习回顾

有__________________种答。

学知识解决本节

不同的方法。

课的相关问题

2、分步乘法计数原理：完学生思考、并举手

成一件事情，需要分成n个回答。

步骤，做第1步有m1种不同

的方法，做第2步有m2种不

同的方法……做第n步有

mn种不同的方法.那么完成

这件事共有_____________

种不同的方法。

引例：设集合

I1,2,3,4,5,6，选择集合I

的两个非空子集A和B，要

通过实例，引出本新课教学

使B中的最小的数大于A学生思考并解答

节课要研究的主

要问题

中的最大的数，共有多少种

不同的选择方法？

3 3

问题：以上问题是否可用集

合的子集个数相关知识解学生思考并回答

回忆并记忆原有

答吗？集合的子集个数取

知识

归纳总结

决于什么？

结论：如果集合A中的元素学生思考并归纳

个数为n，则集合A的子集总结：集合A的子

个数= 集个数= 2n

我们能不能利用所学数学

课题提出

提出问题，讨论问

知识、方法和思想，去证明学生思考、讨论

题，总结方法

刚才我们得到的结论？

思路一、求集合的子集的过

学生根据教师提

示、自学思考、小

程实际是针对每一个元素

组谈论、合作探究方法提示

等方式找到解决

“取”与“舍”的过程，是学生思考、讨论、问题的方法；

展示结果

学生根据教师提

否能用分步乘法计数原理

醒注意解体过程

中需要注意的问

解决证明问题？

题。

思路二、：按照集合中元素

学生根据教师提

示、自学思考、小方法提示

的个数从少到多的原则，考

组谈论、合作探究

等方式找到解决

查每增加一个元素，增加后学生思考、讨论、问题的方法；

展示结果

学生根据教师提

集合子集个数fn与增加

醒注意解体过程

中需要



注意的问前的集合子集个数fn1

题。

4 4

之间的关系。

学生根据教师提

示、自学思考、小方法提示

思路三、提醒：注意数学归

组谈论、合作探究

学生思考、讨论、等方式找到解决

纳法证明的步骤

展示结果

问题的方法；

学生根据教师提

醒注意解体过程

中需要注意的问

题。

学生根据教师提

提示：如果按照集合的子集

示、自学思考、小

组谈论、合作探究方法提示

中元素的个数，能将集合的学生思考、讨论、等方式找到解决

展示结果

问题的方法；

子集分成多少类？每一类

学生根据教师提

醒注意解体过程

如何表示？如何求和？

中需要注意的问

题。

方法总结

同学们将刚才几位同学跟

养成整理总结知

大家分享的方法进行总结学生整理学案上的内容

识的习惯

整理。

1、集合1,2，3，4,5的子集有

个，真子集有 个，非

空子集有 个，非空真子

课堂练习

集有 个。



2、Ax0x3,xN的学生思考并回答

灵活应用结论

真子集个数是

3、已知集合M满足

5 5

1,2M1,2,3,4,5，则这

样的集合M共有 个

变式：已知集合M满足

1,2M1,2,3,4,5，则这

样的集合M共有 个

课堂小结

本节课同学们有什么收学生思考并回答

学有所思

获？

学后小结

【板书设计】

标题（子集的个数有多结论：集合中元素个数证法三、从数学归纳法少？） 例：设集合I1,2,3,4,5,6，为n，则集合的子集个的视角

选择集合I的两个非空子数为2n

证法四、组合数和二项集A和B，要使B中的最小证法一、从构造法和乘式定理的视角

的数大于A中的最大的数，法原理的视角

练习

共有多少中不同的选择方证法二、从分类和递推

法？

的视角

6 6