1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计

回归分析的基本思想及其初步应用

一、教学分析

1.教材分析

“回归分析的基本思想及其初步应用”

是人民教育出版社《数学选修1-2》统计案例一章的内容。这部分内容在《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第三课时的内容介绍两个变量非线性相关关系.初步探讨如何处理非线性相关关系的问题，并且对不同模型的拟合效果进行比较。是线性回归的延伸，进一步地揭示了统计方法的特点。

2.学情分析

在《必修3》学习了“线性回归分析”和上一节课的“相关指数和残差分析”的前提下，本节课初步探讨如何处理非线性相关关系的问题，并且对不同模型的拟合效果进行比较。是线性回归的延伸，进一步地揭示了统计方法的特点。在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，启发诱导学生根据问题的背景和已经掌握的知识建立近似效果更好的模型

3.重点、难点

重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法

难点：理解数学模型的作用，以及统计学在建模时追求的目标

二、教学目标

1.知识与技能

（1）能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。

（2）知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

（3）通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果。

2．过程与方法

（1）通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。

（2）让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。

（3）通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法。

3．情感、态度与价值观

（1）从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。

（2）通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。

（3）通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。

三．教学策略

本节课依据新课程理念面向全体学生，以”学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式，使学生在讨论、探究过程中培养独立思考习惯和创新意识，培养学生的探究能力、分析比较和表达能力以及合作精神。

通过学生身边的故事引入课题，拉近数学与现实的距离，从而激发学生求知欲，调动学生的积极性。运用现代教学手段，增大教学容量和直观性。

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四、教学过程设计

1.创设情境

一个鞋印包含着一个人的所有信息。性别、身高、体重、年龄、走路特点、有无残疾、鞋的质地、产地、新旧程度、到过哪些地方……在刑事侦查中，都可以根据鞋印来做出科学的判断。如福州晚报中报道的《鞋印“供出”杀人真凶》，法制报中报道的《盗窃围栏留下鞋印

民警追踪抓获疑犯》等。那么根据鞋印判断一个人信息的依据是什么呢？他来源于对大量数据的统计分析。在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数等非线性关系。

2.温故知新

建立回归模型的步骤：选变量画散点图选模型估计参数分析和预测

3.呈现问题

红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为 25一32C，相对湿度为80％一100％，低于 20C和高于35C卵不能孵化，相对湿度60％

以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一4．8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。

多省曾发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨。建立了红铃虫的预测预报模型，对减少棉花损失有重要作用。

例、现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：

温度x 产卵数y/个

21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 （1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。

（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ （设计意图：通过背景材料，加深学生对问题的理解，并明白“为什么要学”。体会问题产生于生活。同时激发学习兴趣，提高学习的积极性。）

4.讨论探究

选变量选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y

画散点图

产卵数y/个

350300

250

200

产卵数y/个150

100

50

0

010203040

引导学生观察散点图的特点：

从散点图可以看出，样本数据并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系。根据已有的函数知识，引导学生探究红铃虫的产卵数y与温度x更可能是什么关系。比如指数函数模型、二次函数模型等。学生讨论、回忆常见函数图象的特点，判断红铃虫的产卵数y与温度x可能关系。

（设计意图：使学生体会用计算机处理数据的方便，直观的感受产卵数随温度的变化。）

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选模型散点图似乎分布在指数函数或二次函数曲线的周围，引导学生考虑对原始数据进行相应的的变换把，非线性问题转化成线性考问题

（设计意图：使学生体会变换的目的是使变换后的数据散点分布在一条直线周围，以便借助线性回归模型解决问题）

方案1：可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线ym10nx的周围，其中m,n是待定的参数。

问题：当模型不是线性回归模型时如何估计模型中的参数？

教师引导学生思考把原来两个变量的非线性关系转化为另外两个变量的线性关系。学生观察模型，探究变换的方法并发表自己的意见，最后给出具体的方法。通过对数变换把指数关系变为线性关系。令zlgy，则zlgmnx，即变换后的样本点应该分布在直线这样就可以利用线性回归模型来建立y关于x的非线性回归zbxa(bn,algm)的周围，方程了。

z=lgy32.521.510.50010203040z=lgy

29 1.82 2温度x z=lgy 21 23 25 1.32 27 1.38 732 2.06 35 2.51 0.85 1.04 n（x27.43，z1.57 ，xizi=318.65 ，xi5414）

i1i1 bxxizinxy2inx2 aybx

由表格中的数据的：z0.118x1.665

因此红铃虫的产卵数y与温度x非线性回归方程为：ye0.118x1.665

计算相关指数R20.98

设计意图：学生经历数据处理全过程，培养对数据的直观感觉，体会统计方法的应用。通过使用转化后的数据，利用计算器（计算机）求参数和相关指数，使学生体会使用计算器（计算机）处理数据的方法

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方案2：可以发现样本点集中在某二次曲线ypx2q的附近，其中p,q是待定参数

对温度变量做变换，令tx2，建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y关于x的非线性回归方程了。

产卵数y/个350300250200150100500050010001500产卵数y/个

625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325 t=x*x 产卵数y/个

441 7 529 11 由表格中的数据的：y0.367t202.543

因此红铃虫的产卵数y与温度x非线性回归方程为：y0.367x2202.543

计算相关指数R20.80

指数函数模型拟合的效果更好。

设计意图：1.体会数学模型的作用：用来近似产生样本数据的真实模型。

2.体会统计学的一个目标：寻求近似效果更好的模型

5.小结

（1）如何发现两个变量的关系？

（2）当选用非线性回归模型时，如何建立模型？

（3）如何比较不同模型的拟合效果？

6.作业

1、某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：

x y

(1)画出散点图；

(2)求成本费y（元）与印刷册数x（千册）的回归方程。

2、通过互联网收集2000年至2010年每年中国人口总数的数据，建立人口与年份的关系，预测2011年的人口总数，并计算与实际数据的误差。

4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15

五、教学评价：

高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。“线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型。

这个内容在人教A版教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却代表了一种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此，我设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生的学习兴趣；鼓励学生用已有知识解决问题，对不同方案进行探索；使学生在合作探索的过程中体会“选择模型——将非线性转化成线性”方法，体会“化未知为已知、用已知探索未知”思想，同时认识不同模型的效果。培养学生观察、类比联想，以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探索、动手实践，养成独立思考、积极探索的习惯。

在“选模型”这个环节中，我引导将散点分布和已学函数图像进行比较，从而发现二次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中，通过引导学生观察所选模型，联系已学知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到转化的途径。在运算过程中，如求“相关指数”我引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其相关系数即为相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法和技能。

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