3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质教案设计

3．2.1

复数代数形式的乘除运算及其几何意义

班级

姓名

小组

号

【学习目标】

1．掌握复数代数形式的乘除运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念及i的幂的周期性．

【重点难点】

重点：难点：理解共轭复数的概念及i的幂的周期性．

【学情分析】

复数的乘法运算与多项式乘法很类似，可仿多项式乘法进行运算，但最后结果实部、虚部要分开(i2＝－1)．复数乘除运算可推广到多个复数相乘除，其最后结果仍是一个复数．

自主学习内容

一、回顾旧知：

复数加、减法法则：

设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，

则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

二、基础知识感知

阅读教材第542—56页内容，然后回答问题

1．复数代数形式的乘除法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝ac＋bci＋adi＋bdi2 ＝

，

z1a＋bia＋bic－diz1÷z2＝z2＝c＋di＝c＋dic－di＝

(z2≠0)．

2．复数乘法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

3.共轭复数的概念

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为

．即交换律

结合律

分配律

z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

；

.其中a，b，c，d为实数．

－复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数z＝a－bi，虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 三、探究问题

1.复数的乘法

(1)复数的乘法运算与多项式乘法很类似，可仿多项式乘法进行运算，但最后结果实部、虚部要分开(i2＝－1)．

(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，且乘法公式也适用．

2．复数的除法

(c＋di)写成商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷a＋bic＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，然后分子，分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果．这个过程实际上就是把分母“实数化”，这与根式除法的分母“有理化”很类似，注意最后结果要实部、虚部分开．复数乘除运算可推广到多个复数相乘除，其最后结果仍是一个复数．

3．共轭复数的性质

(1)实数的共轭复数是其本身．即z∈R⇔z＝z.

(2)z·z＝|z|2＝|z|2. (3)当z∈C时，|z|2∈R，但z2∈C，所以一般z2≠|z|2.

(4)两个互为共轭复数的对应点关于x轴对称．

4．几个常用结论

1(1)i＝－1，i＝－i，(1±i)2＝±2i. 2(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．

(3)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.

小组讨论问题预设

题型一、复数代数形式的乘除运算

例1、

计算下列各题．

3311(1)(2＋3i)2；

(2)－2＋2i2＋2i(1＋i)；

2＋3i1＋i6(3)1－i＋3－2i.

[来源学&科&网]

提问展示问题预设:

(1)(2016·变式1、陕西安康模拟)复数z满足z(1－3i)＝10(i是虚数单位)，则复数z等于(

)源:Z_xx_k.Com][来

B．1＋3i A．－1＋3i

C．－1－3i

D．1－3i 3－4i(2)(2016·南昌二中模拟)已知复数z＝3＋4＋3i，则z＝(

) A．3－i

C．3＋i

课堂训练问题预设：题型2、共轭复数

－

例2、

复数z满足4z＋2z＝33＋i，w＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－w|的取值范围

变式2(1)(2016·安徽皖南八校联考)在复平面内，复数(4＋5i)i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

B．2－3i D．2＋3i 5i(2)(2016·宁夏六盘山模拟)复数z＝2＋i的共轭复数是(

) A．2＋i

C．1＋2i

题型三、虚数单位i的周期性

例3、计算：i＋i2＋i3…＋i2 013.

4n4n14n24n3总结：(1)虚数单位i的幂的周期性，i＝1，i＋＝i，i＋＝－1，i＋＝－i(n∈N＋)．n也可

B．2－i D．1－2i 以推广到整数．

(2)记住以下结果，可提高运算速度．

1＋i1－i1①i＝－1，i＝－i，i＝1.

②i＝－i，1－i＝i，1＋i＝－i. 23422③(1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i. 1111变式3、(1)i为虚数单位，i＋i3＋i5＋i7＝(

)

A．0

B．2i

C －2i

D．4i (2)1＋2i＋3i2＋…＋100i99.

整理内化

本节课学习内容中的问题和疑

3．2.1

复数代数形式的乘除运算及其几何意义

班级

姓名

小组

号

限时训练

时间45分钟

满分100分

第一部分（5分）总结本节课的知识点：

第二部分（90分）

1、已知复数z满足z·i＝2－i，i为虚数单位，则复数z＝(

) A．－1－2i

C．2－i

B．1＋2i D．－1＋2i 2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(

) A．4＋2i

B．z＋i

C．2＋2i

D．3＋i 31＋i3．(2016·葫芦岛六校联考)1－i2＝(

) A．1＋i

B．－1＋i

C．1－i

D．－1－i

z＋14．已知复数z＝1＋i，则z2＝(

)[来源:Z.xx.k.Com]

1111A.2－i

B.2＋i

C．－2－i

D．－2＋i 5．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i

B．－1－i

C．1＋i

D．1－i 2a＋i6．(2016·河南林州质检)已知复数2i－1是纯虚数，则实数a＝(

) 11A．－1

B.4 C．1

D．－4

3－i7．(2016·海口市一中月考)若复数z满足z＝1＋i，i是虚数单位，则z＝(

) A．2－2i

C．2＋i

B．1－2i D．1＋2i y8．(2016·安徽示范高中联考)已知1－i＝x＋i，其中x，y是实数，i是虚数单位，则复数x＋yi的共轭复数对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

9．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(

) A．0

C．1

B．－1 D．－2 10．对任意复数w1，w2，定义w1]2，其中w2是w2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：

①(z1＋z2)*z3＝(z1](

) A．1

C．3

二、填空题

11 ．(2016·北京西城区模拟)在复平面内，复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1z1＝－1＋i，则z2＝________. 12．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 13．已知p，q∈R，且关于x的方程x2＋px＋q＝0一个根为1＋i，则q＝________. 三、解答题

14．计算下列各式的值．

B．2 D．4 [来源学科网Z|X|X|K]

77331＋i1－i3－4i2＋2i1＋i4＋5i2＋4i2(1)1－i＋1＋i－

（2）；4＋3i5－4i1－i＋1＋i.

2＋2i22 016（3）(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

（4）1－i2＋1＋i；

(5)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．

z215、已知复数z1＝1＋3i，1＋2i＝2，z1·z2为纯虚数，求复数z2. [来源学&科&网Z&X&X&K]

1－i2＋31＋i16．已知复数z＝2－i. (1)求复数z；

(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．

17．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(

A．1

B.2 C.3

D．2

整理内化：（5分）本节课学习内容中的问题和疑难

)