小结课堂实录

选修2-3 第二章

随机变量及其分布章末复习小结

学习目标

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．

1．离散型随机变量的分布列

(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：

①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n；

n②∑pi＝1. i＝1离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X P

1

0 p q

其中0

3．超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：CMCN－MP(X＝k)＝n (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，CN则称分布列

kn－kX P 0

CMCN－Mn

CN0n－01

CMCN－Mn

CN1 1n－1…

…

m

CMCN－Mn

CNmn－m

选修2-3 为超几何分布列．

4．条件概率的性质

(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.

(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

5．相互独立事件的性质

(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．

6．二项分布满足的条件

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．

(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

7．均值与方差的性质

(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b. (2)D(aξ＋b)＝aD(ξ)．

(3)D(ξ)＝E(ξ)－[E(ξ)]. 8．正态变量在三个特殊区间内取值的概率

(1)P(μ－σ

(2)P(μ－2σ

(3)P(μ－3σ

1．求分布列时要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．

2．要注意识别独立重复试验和二项分布．

3．在记忆D(aX＋b)＝aD(X)时要注意D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．

4．易忽略判断随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．

主题1 超几何分布

老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格。某同学只能背诵其中的6篇，求

（1）.抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

（2）.他能及格的概率。

2 2222

选修2-3 主题2

条件概率

口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：

(1)第一次取出的是红球的概率是多少？

(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？

(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？

【解】

记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．

(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出4×52的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P(A)＝＝. 6×53(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第4×3二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)＝6×52＝. 5(3)利用条件概率的计算公式，可得

2P（AB）53P(B|A)＝＝＝. P（A）253

条件概率的两个求解策略

(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝n（AB）求解．

n（A）P（AB）P（AB）或P（B|A）＝求解．

P（A）P（B）其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．

(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿11灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则25在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(

) 112A.

B.

C.

10551D.

2解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件11B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出25

3

选修2-3 1P（AB）52现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C. P（A）152主题3

相互独立事件的概率与二项分布

为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，其中第2组的频数为12.

(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的分布列．

【解】

(1)设该校报考飞行员的人数为n，前三个小组的频率分别为p1，p2，p3，

p2＝2p1，则由条件可得p3＝3p1，

p1＋p2＋p3＋（0.037＋0.013）×5＝1，解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375. 12又p2＝0.25＝，解得n＝48，所以该校报考飞行员的总人数为48. n5(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60 kg的概率为P＝1－(0.125＋0.25)＝，

85533，，故P(X＝k)＝Ck依题意有X～B38·88所以随机变量X的分布列为

X P

求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率0 27

5121 135

5122 225

5123 125

512k3－k，k＝0，1，2，3.

4

选修2-3 问题的唯一工具．

(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．

(3)公式“P(A＋B)＝1－P(A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．

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某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现35安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

解：记E＝{甲组研发新产品成功}，

F＝{乙组研发新产品成功}，

2132由题设知P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝，P(F)＝，且事件E与F，E与F，E与F，E与F3355都相互独立．

(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E

F，

122213于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝. 35151515(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(E

F)122＝×＝，

35151331P(X＝100)＝P(EF)＝×＝＝，

35155224P(X＝120)＝P(EF)＝×＝，

35152362P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝. 35155故所求的分布列为

X P 0 2

15100 1

5120 4

15220 2

52142300＋480＋1 3202 100数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140. 1551551515主题4

正态分布

设X～N(10，1)．

(1)证明：P(1

(2)设P(X≤2)＝a，求P(10

【解】

(1)因为X～N(10，1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1，2)

5

选修2-3 和(18，19)关于直线x＝10对称，所以2φμ，σ(x)dx＝19φμ，σ(x)dx，

118

即P(1

(2)因为P(X≤2)＋P(2

P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，

P(2

所以，2a＋2P(10

1－2a1即P(10

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根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点

(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；

(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；

(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c>0)对目标概率进行转化求解．

在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(

) (参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

B．1 359

C．2 718

D．3 413 解析：选B.对于正态分布N(－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图1中阴影部分的面积为×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P20.135 9＝＝0.135 9，所以投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359. 1

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