3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀教案案例

3.2.2复数代数形式的乘除运算 教学目标：

知识与技能：1理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算. 2理解共轭复数的概念

3理解复数的除法是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系. 教学重点：1复数代数形式的乘除运算. 2共轭复数的概念. 教学难点：复数的乘除运算.

教具准备：多媒体、实物投影仪. 教学过程：

一复习引入： 1.复数的加法与减法

若两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)

(1)加法：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)减法：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；

2.复数的加法运算律

（1）交换律: z1+z2=z2+z1. （2）结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

3．复数加减法的几何意义

→→→→（1）若复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平→行四边形的对角线OZ所对应的复数．

→→（2）复数z1－z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．

二 讲解新课：

１．复数的乘法; 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1z2 =(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.复数乘法运算律：

(1)

交换律z1z2=z2z1. (2)结合律z1(z2z3)=(z1z2)z3 (3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i).

解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; (2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚222222部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z

思考：若z1，z2是共轭复数，那么

（1）在复平面内，它们所对的点有怎样的位置关系？

（2）z1z2是一个怎样的数？

4. 复数的除法：

(1)复数除法的定义

满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abi

cdi

(2).复数除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.acbdx,22cd解这个方程组，得

bcady.22cd于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2 i. 222cdcd2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将2abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

22(34i)(34i)342555

例4计算(14i)(1i)24i

34i解：(14i)(1i)24i143i24i7i(7i)(34i)

2234i34i3434i2143i28i2525i1i.

2525例5

设复数z和它的共轭复数z满足4z＋2z＝33＋i，求复数z. 解

设z＝a＋bi(a，b∈R)．

因为4z＋2z＝33＋i，

所以2z＋(2z＋2z)＝33＋i. 2z＋2z＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，

整体代入上式，得2z＋4a＝33＋i. 所以z＝33－4ai2＋2. 根据复数相等的充要条件，得

a＝33－4a，2a＝3解得2，b＝12.

b＝12.

所以z＝32＋i2. 三.课堂练习

四. 小结

1.两复数的乘除法. 2.共轭复数.

五 . 布置作业P61. 4题5题