3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课程导入及其完整教案

第四节数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

―→向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

―→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→

平面向量OZ

．

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a＋bia＋bic－diac＋bdbc－ad④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋dic＋dic－dic2＋d2c2＋d2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[小题体验]

2＋i21．若复数z满足z＝i，则z＝________．

2＋i23＋4i解析：由题意得，z＝＝＝4－3i．

ii答案：4－3i 2．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．

解析：因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5．

答案：5 3．(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．

答案：3＋5i

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

2．两个虚数不能比较大小．

3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，22z2∈C，z21＋z2＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z<0在复数范围内有可能成立．

[小题纠偏]

1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________．

解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4．

答案：4 2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．

解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2．

答案：2

考点一

复数的有关概念基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

2＋i1．(2017·皖南八校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(

) 1＋iA．－2

C．0

B．－1 1D．

22＋i1－i3－i31解析：选C

∵＝＝－i＝a＋bi，

2221＋i1－i∴1b＝－2，3a＝，2

∴lg(a＋b)＝lg 1＝0．

2．(2016·河南六市一联)已知i为虚数单位，a∈R，若i的模等于(

) A．2

C．3

B．11 D．6 2－i为纯虚数，则复数z＝2a＋2a＋i－t＝2，2－i解析：选C

由题意得，＝ti(t≠0)，∴2－i＝－t＋tai，∴解得a＋ita＝－1，

t＝－2，1∴z＝2a＋2i＝1＋2i，|z|＝3，故选C．

a＝，23．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝(

) A．10

C．2

B．2 D．1

解析：选A

依题意得(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝－32＋12＝10．

4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．

解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i．

设z2＝a＋2i，a∈R，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i．

∵z1·z2∈R，∴a＝4．

∴z2＝4＋2i．

答案：4＋2i [谨记通法]

求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解，如“题组练透”第3题．

考点二

复数的几何意义基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

3＋i1．(2016·河南八市重点高中质检)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为1＋i

(

) A．第一象限

C．第三象限

解析：选A

z＝B．第二象限

D．第四象限

3＋i3＋i1－i4－2i＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平21＋i1＋i1－i面内对应的点在第一象限．

2．(2017·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z＝的点为A，则A对应的复数为(

) A．1＋i

C．－1－i

B．1－i D．－1＋i 2i所对应的点关于实轴对称1＋i2i1－i2i解析：选B

因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其1＋i1＋i1－i对应的复数为1－i．

3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，―→―→―→C，若OC＝λOA＋μOB

(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

―→―→解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，

―→OB＝(1，－1)，

―→―→―→根据OC＝λOA＋μOB得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

－λ＋μ＝3，∴

2λ－μ＝－4，λ＝－1，解得

μ＝2.

∴λ＋μ＝1．

答案：1 [谨记通法]

对复数几何意义的理解及应用

―→―→(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔

OZ．

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

考点三

复数的代数运算基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2016·北京高考)复数1＋2i＝(

) 2－iB．1＋i D．1－i A．i

C．－i

1＋2i1＋2i2＋i5i解析：选A

法一：＝＝＝i．

2－i2－i2＋i5法二：1＋2ii1＋2ii1＋2i＝＝＝i．

2－ii2－i2i＋12．(2017·重庆第一次适应性测试)已知(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数z＝(

) 13A．＋i

2231C．＋i

22解析：选B

依题意得z＝3．已知复数z＝解析：∵z＝31＋i，

44

故z＝－31－i，

443131311＋i－－i＝16＋16＝4．

444413B．－i 2231D．－i 222＋i2＋i1＋i1313＝＝＋i，因此z＝－i，选B．

221－i1－i1＋i223＋i－，z是z的共轭复数，则z·z＝________．

1－3i23＋i3＋i3＋i3＋i1－3i23－2i＝＝＝＝＝－－81－3i2－2－23i－21＋3i－21＋3i1－3i∴z·z＝－1答案：

422 0161＋i64．已知i是虚数单位，＋1－i＝________．

1－i221 0081＋i621 00861 00864×2524＋2解析：原式＝＋＝－2i＋i＝i＋i＝i＋i＝1＋i2＝0．

1－i1－i答案：0 [谨记通法]

复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的

幂写成最简形式．

[提醒]

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；＝－i；

1－i1＋i(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；

(3)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i，

＋＋＋i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0，n∈N*．

＋＋＋