3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学内容

复数代数形式的乘除运算 主备人：张强

审核人：张诚，普家燕，张家斌，赵海东，蒋丽京，周莉于，卢燕

教师评价：

复数代数形式的乘除运算

【能力发展目标】

通过自主学习

，结合已经学习的复数代数形式的加减运算，了解共轭复数的概念和性质，理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；经历课堂上的自主探究

、合作探究 ,

掌握复数代数形式的乘、除的运算法则，能熟练地进行复数乘、除法运算，发展学生分析问题、解决问题的能力。

【学习重点】掌握复数代数形式的乘、除的运算法则，能熟练地进行复数乘、除法运算；

【学习难点】掌握复数代数形式的乘、除的运算法则，能熟练地进行复数乘、除法运算。

【学法指导】

【使用说明及学法指导】

1、通过阅读教材P58～P60页的内容，并完成课前预习刚要；

2、对预习纲要中理解不了的知识做好标识，在课内学习时重点掌握；. 3、通过自主学习，合作探究，重点班完成90%以上，普通班完成80%以上的复习任务；

4、按纲要中的要求，认真思考，完成纲要中的学习任务。

课前预习纲要

自学课本第P58～P60页的内容，勾画出重点知识并把自己不会的地方标注出来，和小组同学讨论，15分钟内完成。

回答下列问题． 1.(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？

(2)观察下列三组复数：

①z1＝2＋i，z2＝2－i；

②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；

③z1＝4i，z2＝－4i. 每组复数中的z1与z2有什么关系？

2．归纳总结，核心必记

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1·z2＝

结合律

(z1·z2)·z3＝

乘法对加法的分配律

z1(z2＋z3)＝

(3)共轭复数的概念

一般地，当两个复数的实部相等，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

(4)复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，

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则z1z＝a＋bii＝ (c＋di≠0)．

2c＋d[思考] (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？

(2)复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？z1·z2为何值？

(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？

(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？

(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？

课内学习探究纲要

【学法指导】通过思考，独立完成

‘自主探究’内容；经历小组合作，完成‘合作探究’部分。

一、

学习任务一：复数的乘法运算（自主探究）

1．计算：

(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；

(2)－12＋32i32＋12i(1＋i)；

(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；

(4)3＋2i3－2i2－3i－2＋3i.

复数乘除运算的常用技巧

(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．

(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

学习任务二：共轭复数、复数除法运算

（合作探究）

1.[思考] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z，z·z各为何值？

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复数代数形式的乘除运算 主备人：张强

审核人：张诚，普家燕，张家斌，赵海东，蒋丽京，周莉于，卢燕

教师评价：

2．(1)若z＝1＋2ii，则复数z＝(

) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i (2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(

) A．A B．B

C．C D．D

(3)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝(

) A．－2i B．－i C．i D．2i 共轭复数的求解与应用

(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求z. (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

学习任务三：复数范围内的方程根问题（合作探究）

1．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．

(1)求b，c的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根．

解决复数方程问题的方法

与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．

学习任务四：【当堂检测】

1．计算：

(1)(－1＋3i)(3－4i)；

(2)2－i3－4i1＋i2＋(1－i)2.

2．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数z＝1－i，求实数a、b使az＋2bz＝(a＋2z)2.

3．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．

学习任务五：整理提高

1、知识：

2、思想方法：

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课后巩固拓展纲要

1．（C）在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为(

) A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 2．（C）已知复数z＝3＋i－32，z是z的共轭复数，则z·z＝(

) A.114 B.2 C．1 D．2 3．（C）已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝(

) A．2i B．－2i C．2 D．－2 4．（C）设i是虚数单位，

z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝(

) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 5．（B）若21－i＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.

6．（B）若z＝－1－i2 0161062时，求z＋z＝________.

7．（A）已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

8．（A）已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω. 第4页 (共4页)