3.2.2 复数代数形式的乘除运算第二课时教案

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易混点)

[基础·初探] 教材整理1 复数的乘法法则及运算律

阅读教材P58至“例2”以上内容，完成下列问题．

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：z1·z2＝z2·z1. (2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)．

(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. a－1＝0，【解析】

因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a＋1＝b，a＝1，得b＝2，

解

所以a＋bi＝1＋2i. 【答案】

1＋2i 教材整理2 共轭复数

1

阅读教材P59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.

若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 【解析】

由题意可得x＝－1，y＝1.x－2＝3x，y＝1，

∴

【答案】

－1 1 教材整理3 复数的除法法则

阅读教材P59“探究”以下至P60“例4”以上内容，完成下列问题．

设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则＝i(c＋di≠0)．

7－ii是虚数单位，复数＝________. 3＋i【解析】

7－i＝3＋i－＋－－＝20－10i＝2－i. 10z1a＋biac＋bdbc－ad＝＋z2c＋dic2＋d2c2＋d2【答案】

2－i

[小组合作型]

A．－3

C．2 复数代数形式的乘除法运算

(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(

) B．－2 D．3 (2)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(

) A．－2－i C．2－i (3)计算：－＋B．－2＋i D．2＋i －＝________. －＋i【精彩点拨】

(1)利用复数的乘法运算法则进行计算．

2

(2)利用复数的除法运算法则进行计算．

(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．

【自主解答】

(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A. i＋1(2)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，

i∴z＝2－i，故选C. (3)＝＝＝＝－＋－

－＋i－1－i－2i＋2

i－1－1－i＋i1－3i－＝－2＋i－2＋－2－＋5－－2－－2－

－5＋5i＝－1＋i. 5【答案】

(1)A (2)C (3)－1＋i

1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

11＋i33122．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)＝±2i，－±i＝1，＝－i，i1－i221－i＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．

1＋i

[再练一题] 1＋3i1．(1)复数等于(

) 3－iA．i

C.3＋i 22B．－i D.3－i (2)已知复数z＝(5＋2i)(i为虚数单位)，则z的实部为________．

3

(3)计算：＋＋2＋i2－＋33－＝________. 3＋3＋＝

1＋3i【解析】

(1)＝3－i3＋i＋3i－3＝i. 4(2)因为z＝(5＋2i)＝25＋20i＋(2i)＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21. (3)＝＝＝＋＋2＋i222－

－3＋4i＋3－3i

2＋ii

2＋i－5

12＝＋i. 5512【答案】

(1)A (2)21 (3)＋i 55

共轭复数及其应用

z

已知复数z的共轭复数是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，试求【精彩点拨】

→计算设z＝x＋yz. x，y∈R→由条件到方程组求x，y的值zz的值

【自主解答】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得

x＋yx＋y－x－yx－y＝－4i，＝13，

2yi＝－4i，即22x＋y＝13，

解得x＝3，y＝－2

或x＝－3，y＝－2.

－

因此z＝3－2i或z＝－3－2i. 3－2i于是＝＝3＋2izz2＋－＝5－12i512z－3－2i＝－i，或＝＝131313－3＋2iz

4

－3－－3＋2－3－＝5＋12i512＝＋i. 131313

1．已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

2．关于共轭复数的常用结论

(1)z·z＝|z|＝|z|是共轭复数的常用性质；

(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数；

(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

[再练一题] 2．已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z. 【解】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，

由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i ＝(x＋y－2y)＋2xi＝4＋2i，

x＋y－2y＝4，∴2x＝2，222222

解得x＝1，y＝3

或x＝1，y＝－1，

∴z＝1＋3i或z＝1－i. [探究共研型] i的值的周期性及其应用

n探究1 i，i4n4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？

【提示】

1，i，－1，－i. 探究2 i(n∈N)有几种不同的结果？

【提示】

四种：1，i，－1，－i. 探究3 i＋innn＋1n＋in＋1n＋2＋in＋2n＋3(n∈N)结果是多少？

n＋3【提示】

i＋i＋i＋i＝i(1＋i＋i＋i)＝i(1＋i－1＋i)＝0. n23－23＋i22 016

(1)计算：＋；

1＋23i1－i

5

1＋i22 016(2)若复数z＝，求1＋z＋z＋…＋z的值．

1－i【精彩点拨】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现i的形式，然后再根据i的值的特点计算求解．

【自主解答】

(1)原式＝＋231＋23inn221 008＋

1－i21 0081 0084×252＝i＋＝i＋i＝i＋i＝i＋1. －2i(2)1＋z＋z＋…＋z1＋i而z＝＝1－i222 0161－z＝，

1－z22 017＋－2 016＋2i＝＝i，

22 017所以1＋z＋z＋…＋z1－i1－i＝＝＝1. 1－i1－i

1．要熟记i的取值的周期性，即in4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，in4n＋3＝－i，i＝1(n∈N)，解4n题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

[再练一题] 1－i22 0163．在上例(2)中，若z＝，求1＋z＋z＋…＋z的值．

1＋i1－i【解】

∵z＝＝1＋i∴1＋z＋z＋…＋z22 016－＋2 0172－＝－2i＝－i. 22 0171－z1－－＝＝1－z1－－1＋i＝1－－2 0171＋i1＋i＝＝＝1. 1＋i1＋i2 017

1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i C．1＋i 【解析】

z＝【答案】

A 2i＝1－i＋－＋B．－1－i D．1－i ＝－1＋i.

6

2．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

【解析】

∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．

【答案】

B －3＋i3．复数z＝的共轭复数是(

) 2＋i

【导学号：81092049】

A．2＋i C．－1＋i －3＋i【解析】

∵z＝＝2＋i∴z＝－1－i. 【答案】

D －3＋＋B．2－i D．－1－i －－－5＋5i＝＝－1＋i，

5a－i4．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________. 1＋i【解析】

a－i＝1＋ia－＋－－＝a－－a＋2，因为

a－i是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1. 1＋i【答案】

1 3＋2i3－2i5．计算：－. 2－3i2＋3i3＋2i3－2i【解】

法一：－

2－3i2＋3i＝＝＋2＋－－－＋－

6＋13i－6－6＋13i＋626i＝＝2i. 4＋913－2－3i－－＋2＋3i

3＋2i3－2i法二：－＝2－3i2＋3i＝i＋i＝2i. 学业分层测评

(建议用时：45分钟) [学业达标]

7

一、选择题

1．已知复数z＝2－i，则z·z的值为(

) A．5

C．3 2B.5 D.3 2【解析】

z·z＝(2－i)(2＋i)＝2－i＝4＋1＝5，故选A. 【答案】

A 7＋i2．i是虚数单位，复数＝(

) 3＋4iA．1－i C.1731＋i 25257＋i＝3＋4i＋＋－－B．－1＋i 1725D．－＋i 77＝25－25i＝1－i，故选A. 25【解析】

【答案】

A 3．z1，z2是复数，且z1＋z2<0，则正确的是(

) A．z1<－z2

B．z1，z2中至少有一个是虚数

C．z1，z2中至少有一个是实数

D．z1，z2都不是实数

【解析】

取z1＝1，z2＝2i满足z1＋z2<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足2z21＋z2<0，排除C，从而选B. 222222【答案】

B 4．若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(

) A．1＋2i C．－1＋2i B．1－2i D．－1－2i 【解析】

法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋z＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i. 法二：由已知条件2z＋z＝3－2i①，得2z＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，z的方程组，得z＝1－2i.故选B. 【答案】

B 5．已知复数z＝3＋i－32，z是z的共轭复数，则z·z＝(

) 【导学号：81092050】

8

A.14

B.12

C．1 D．2 【解析】

法一：z＝3＋i3＋i3＋i－32＝1－3－23i＝－＋3

＝3＋－331－2×4＝－4＋4i，∴z＝－34－14i. ∴z·z＝－34＋1314i－4－4i

＝3116＋16＝14. 法二：∵z＝3＋i－32

∴|z|＝|3＋i|21|1－3i|2＝4＝2. ∴z·z＝|z|2＝14. 【答案】

A 二、填空题

6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________. 2【解析】

由题意，得x＋i＝－1＋2i－i＋2i－i－2i＝i2＝－1＝2＋i，

所以x＝2. 【答案】

2 7．复数52－i的共轭复数是________．

【解析】

5＋2－i＝－＋＝＋5＝2＋i，其共轭复数为2－i. 【答案】

2－i 8．复数2－2aia＋2i的模为2，则实数a的值是________．

【解析】

2－2ai|22＋－2a2a＋2i＝2－2ai||a＋2i|＝a2＋22＝2，解得a＝±3. 【答案】

±3 三、解答题

9．若z满足z－1＝3(1＋z)i，求z＋z2的值. 【导学号：81092051】

9

【解】

∵z－1＝3(1＋z)i，

1＋3i∴z＝＝1－3i＋3－32＋313＝－＋i，

221311332312∴z＋z＝－＋i＋－＋i＝－＋i＋－－i＝－1. 2222222210．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数；

(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

【解】

(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，

所以复数z的共轭复数为－2－4i. (2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为4＋20＋8a＋a. 又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为25.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a≤20，a＋8a≤0，

所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.

[能力提升] 1．若z＝1＋2i，则A．1 C．i ＝(

) zz－1B．－1 D．－i 4i4i222＋a2＝【解析】

因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i＝＝i.故选C. 4【答案】

C 2．设z的共轭复数为z，z＝1＋i，z1＝z·z，则1A.＋i 21C.

21B.－i 23D.

21＋1等于(

) iz1zz－1z【解析】

由题意得z＝1－i，∴z1＝z·z＝(1＋i)(1－i)＝2.

10

∴11111＋ii1＋＝＋＝－＝. iz1－i2i2221z【答案】

C 3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．

①|z－z|＝2y；

②z＝x＋y；

③|z－z|≥2x；

④|z|≤|x|＋|y|. 【解析】

对于①，z＝x－yi(x，y∈R)，

|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，

故不正确；

对于②，z＝x－y＋2xyi，故不正确；

对于③，|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；

对于④，|z|＝x＋y≤|x|＋|y|，故正确．

【答案】

④

4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. 【解】

∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，

1－i∴z1－2＝＝1＋i∴z1＝2－i. 设z2＝a＋2i(a∈R)，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4. ∴z2＝4＋2i. －＋222222222－＝1－2i－1＝－i，

2

11