3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课一等奖

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§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

【学情分析】：

学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的. 复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体.

【教学目标】：

（1）知识与技能：

了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

（2）过程与方法：

从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复数的代数形式，复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思想方法。

（3）情感态度与价值观：

通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识。

【教学重点】：

复数代数形式的加减运算及其几何意义。

【教学难点】：

复数代数形式的加减运算几何意义。

【课前准备】：

powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

将实数运算以及其中的概念提出，让学生对比思考在复数中相应的运算和概念，引出问题。

1．同学们在学实数的时候有绝对值的概念，在复数里|abi|(b0)叫做复数的模长，在实数集里有相反数的概念，那么复数abi还有没有相反复数的概念呢？

2．实数与实数相加减得到的仍是实数，现在我们学习了复数这个数集，（3）（i）如果一个实数与一个纯虚数相加比如等于多少呢？或者一个实数加上一个虚数比如(3)+(1+i)又等于什么呢？

二、讲授新1．复数的加法：

课

①设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，规定（１）复数代数形式z1z2(abi)(cdi)(ab)(cd)i。

的加法运算

②复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数z1,z2,z3有

一、复习引入

z1z2z2z1(z1z2)z3z1(z2z3)

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（２）复数２．复数的减法

代数形式①已知复数abi，根据加法定义，存在惟一的复数abi使的减法运(abi)(abi)0，abi叫做abi的相反数

算

②设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，规定

z1－z2(abi)(cdi)(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（３）复数３．复数加减法的几何意义

加减法的已知复数z1x1y1i,z2x2y2i及其对应的向量如图，几何意义

oz1(x1,y1),oz2(x2,y2),且oz1,oz2不共线，以oz1和oz2为邻边作平行四边形oz1zz2，根据向量的加法法则，对角线oz所表示的向量ozoz1oz2，而oz1oz2所对应的坐标为(x1x2,y1y2)，正是两个复数之和z1z2所对应的有序实数对。因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，类似地，向量z2z1所对应两个复数的差z1z2，作ozz2z1，则点z也对应复数z1z2。

'z2z1z1-z2

三、运用新知

，

体验成功

练习1：

①．计算：

zz'

及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/ 1.(1i)(1i);2.(2)(23i)3.05(4i)4.(5i)(32i)

②．写出下列各复数的相反数：

32i,37i,③．计算：

13i,8,6.i

22

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1.(45i)(42i);2.(32i)(46i);3.(32i)(5i)(47i);4.(1i)(1i)(54i)(37i)解：①2，3i，54i，

2i

②32i,

育与能力培养结合起来，设计分层练习

1337i,i,8,6.i

22让学生③3i，78i，46i，813i

四、师生互动，继续探究

例1.

计算：

(12i)(23i)(34i)(45i)解：原式＝

(19992000i)(20002001i)

进行复数代数形式(123419992000)(234520002001)i＝加减运算。

10001000i。

分析：复数的加减法，相当于多项式中加减中的合并同类项的过程，两个复数相加减，就是把实部与实部，虚部与虚部分别加减。

例２．已知复数zabi(a,bR)，若z＋z0，证明复数z是纯虚数或０。

解：将zabi(a,bR)代入z＋z0得，(abi)(abi)0，运算得：

2a0,所以a0，所以zbi，当b0时，z0，当b0时，z为纯虚数。

分析：本题是证明一个虚数数为纯虚数的等价条件。

例３．已知z13i,z253i对应的向量分别为oz1和oz2，以oz1,oz2为邻边作平行四边形oz1cz2，求向量oc,z1z2,z2z1对应的复数。

解：由复数加减法的几何意义知：向量oc对应的复数为z1z2(3i)(53i)22i，

向量z1z2对应的复数z2z1(53i)(3i)84i；向量z2z1对应的复数z1z284i。

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五、分层练习，巩固提高

探究活动：

练习2 ：

①已知复数z满足zi33i,求z？ ②在复平面内，复数3i与5i对应的向量分别是通过多角度的练习，并对典型错误OA和OB,其中O是原点，求向量OAOB,BA对应的复数以及A,B两点进行讨论之间的距离。

解：①62i

②2，25

与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

六、概括梳理，形成系统

（小结）

七、布置作业

采取师生互动的形式完成。

即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。

1、

课后作业。

2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。

采取师生互动的形式完成。

1．计算(3i)(2i)的结果为（

）

A.1

B. i

C. 52i

D. 1- i

解：Ａ

2．已知复数z满足zi33i,则z＝（

）

A．0

B。2i

C。

6

D。

62i

解：Ｄ

3．|(32i)(4i)|等于（

）

A．58

B．10

C．2

D．13i

解：Ｂ

4．若|z|1,则复数z对应的点的轨迹是（

）. A.

一个点

B. 两个点

C. 四个点

D. 一个圆

解：Ｄ

5．|(32i)(1i)|表示（

）. A. 点（3，2）与点（1，1）之间的距离

B. 点（3，2）与点（-1，-1）之间的距离

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C. 点（3，2）到原点的距离

D.以上都不对

解：Ａ

6．在复平面上复数1i,0,32i所对应的分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，则平行四边形ＡＢＣＤ的对角线BD的长为

。

解：BDBABC23i,|BD|4913。

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