测试教学教案设计

“一线三等角”型相似图

一、基术图形与结论

当在一条直线上出现三个相等的锐角时(简称“一线三等角”)，利用三角形的外角与平角180°，可以得到两个三角形有两对角对应相等,则有两三角形相似

如图1,若∠ABE=∠AEC=∠CDE,则有下列结论: A1.

△ABE∽△EDC 2.

C

DBE图1

3.提示:等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形，图形虽然变化,但是求证的方法不变.此规律需通过认真做题,细细体会。

4.特殊情况：如图2，若∠ABE=∠AEC=∠CDE，BA与DC交于F,且E为BD的中点，

则有特殊结论：

F（1）

△ABE∽△EDC∽△AEC AC（2） AE平分∠BAC, CE平分∠ACD

DBE

如图2

二：基本图形的应用：

1．如图，等边△ABC的边长为6,D是BC上动点,∠EDF= 60°

(1)求证: △BDE∽△CFD; A(2)当BD=1,FC=3时,求BE.

F E

CBD

2.如图,在△ABC中，AB=AC=5 cm,BC=8,点P为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点P作射线PM交AC于点M, 使∠APM= ∠B; (1)求证:△ABP∽△PCM; (2)设BP=x,CM=y.求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围; (3)当△APM为等腰三角形时，求PB的长. 【点拨】

第(1)(2)小题都是用常规的“一线三等角型”相似的方法。对△APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP~△PCM相关的结论.

AMBPC

3.(1)在△ABC中，AB= AC=5，BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持∠APQ =∠ABC. ①若点P在线段CB上(如图),且BP= 6,求线段CQ的长; ②若BP=x, CQ = y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；

(2)正方形ABCD的边长为5 (如图),点P、Q分别在直线CB、DC(点P不与点C、点B重合)，

且保持∠APQ=90度.当CQ= 1时，写出线段BP的长(不需要计算过程,请直接写出结果).

A Q

C

BP

4.在△ABC中，AB=AC =5，BC=6,P 是BC上一点，且BP=2,将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，

然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E.(1)求证:△BPD ∽△CEP. (2)是否存在这样的位置，使△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长;若不存在，说明理由. ADEBPC

5.已知在梯形ABCD中,AD// BC,AD

ADADEEC

B

6.△ABC中,AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B. (1)如图,当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图

中所有与△ADE相似的三角形；

(2)如图,将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合) ,不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论; (3)如图,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的

时,求线段EF的长.

BPCNAME

ANFB

MEBDCDC

ANFB

MEDC

7.(2018.武汉)在△ABC中,∠ABC=90°

(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N, 求证:△ABM△BCN;

(2)如图2,P是边BC上-点,∠BAP=∠C, tan∠PAC=,求tanC的值;

(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB，∠DEB=90°,sin∠BAC=直接写出tan∠CEB的值

AA

，

CMBNBPC

DACEB