方差与标准差优质课教学设计

数据的离散程度

4.1 方差与标准差（教案设计）

湖北省石首市文峰中学

李

霞

1．教材说明：北师大版八年级上册第六章“数据分析”第4节“数据的离散程度”（第1课时）

2．重难点

方差概念的理解

3．教学目标

（1）理解方差引入的必要性和定义的产生，掌握方差的概念。

（2）引导学生经历方差概念的产生、筛选、构造、评价等过程，发展创新意识和批判思维。

（3）丰富学生的数学活动经验，培养学生科学的探索精神。

4．教学设计

环节1：设置问题情境，制造认知冲突，说明方差引入的必要性。

问题1：某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也相近。

质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：

甲厂：75、74、74、76、73、76、75、77、77、74、74、75、75、76、73、76、73、78、77、72 乙厂：75、78、72、77、74、75、73、79、72、75、80、71、76、77、73、78、71、76、73、75 请同学们比较哪个厂家的鸡腿更符合规格？

（预设受前面知识及学习习惯的影响，他们会分别求两组数据平均数：x甲=75g

x乙=75g）

追问：这个结果说明了什么？是不是两个厂家的鸡腿规格一样高？思考时可参照图1中两组数据分布图。

7978777675747372710510甲厂152025

828078767472700510乙厂152025

1

问题2：实际销售中，对鸡腿规格是有严格限制的，是不是越大越好？

经调查发现，鸡腿与规定的重量偏差不越过2g时，可视为合格，超2g时视为不合格。那么甲、乙两个厂家的合格鸡腿各有多少只？不合格鸡腿有多少只？（甲厂合格鸡腿18只，不合格鸡腿2只，乙厂合格鸡腿12只，不合格鸡腿8只。

追问：请同学们用平滑的曲线按序号分别把甲、乙两厂的鸡腿质量数连接起来，会得到什么？

（教师因势导利：甲厂鸡腿质量数描绘的是碧波荡漾的湖面，乙厂鸡腿质量数描绘则是波浪滔天的大海。这在统计学中，称为数据甲波动小，数据乙波动大（或数据甲比数据乙稳定）。

问题3：能否创设一个新的特征数来衡量两组数据的波动大小？

学生可能用最大数据与最小数据的差，比如甲厂鸡腿：78-72=6g，乙厂鸡腿：80-71=9g，所以甲厂鸡腿更符合规格。

师：对，这位同学说的很好，这在统计学里叫极差，也是刻画数据离散程度的一个统计量，但是它仅仅反映了数据波动范围，没有提供其它信息，且受极端值影响较大。为了更好刻画数据波动程度，还有其它的度量方法。

环节2：让学生经历概念的提出，修正和形成过程，理解方差定义的必然性。

问题4：我们知道，甲厂鸡腿与规定质量的偏差小，而乙厂偏差大，但用什么量来衡量呢？

学生尝试做法：据各数据与其平均数之差进行累加，但很快发现此种做法不可行，因为经计算，甲、乙两组数据与其平均数之差的和为0。

追问：什么原因造成累加和为0。怎样避免呢！

原因：各数与平均数的差有正有负，互相被抵消了，所以造成累加和为0。

方案1：各偏差平方后再相加。

方案2：各偏差取绝对值后再相加。

问题5：若采纳方案1，这种“和”不妨用y来表示，请同学们计算。

y甲=50 y乙=132 追问：显然y甲＜y乙，由此说明数据甲比数据乙波动小，这与我们观察、判断是一致的，我们的创设是成功的，但乙厂却提出了一个条件：仍抽取我的20只鸡腿，但要抽取甲厂的100只鸡腿，你作为甲厂厂长会答应吗？

学生表示不能，尽管甲厂的偏差小,比较稳定，但多个累加和也增大，可能会使y甲＞y乙，结论将与事实相违背。

追问：看来我们的特征数y还不完善，它受样本总量的影响，如何排除这一影响？

（学生合作交流、讨论后有两种方法，取相同容量的数据，或求各偏差平方的平均数。经教师提议,学生充分讨论后,同意采纳后者，也就是用“样本中各数据与样本平均2122数的差的平方”来表示,取名“方差”用S=[（x1－x）+（xn－x）+…+（x1－x）2],n其中x是x1，x2…xn的平均数，而标准差就是方差的算术平方根。于是可算出S2甲=2.5，S2乙=6.6，很显然甲厂的鸡腿规格更稳定。

2 

师生总结方差的特征：

（1）是平均数的形式；

（2）命名缘于“差的平方”；

（3）单位是数据单位的平方；

（4）一组数据的方差越小，这组数据就越稳定。

教师补充：

同学们前面讨论过

|x1x||x2x||xnx|这个式子也可以用来衡量数据的波动程度，我们把它n叫做这组数据的平均差。

一般而言，一组数据极差，方差、标准差、平均差越小，这组数据就稳定。今天我们主要研究方差。

环节3：运用方差的知识解决实际问题。

题1：甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）

甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179 乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，178，176 哪支仪仗队员的身高更为整齐？你是怎么判断的。

题2：射箭时，新手成绩通常不稳定，小明和小华练习射箭，箭射完后，两人的成绩如图所示，请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样做的理由。

3、在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．6个B组裁判员对某一运动员的打分数据(动作完成分)为：9.4，8.9，8.8，8.9，8.6，8.7．

(1)如果不去掉最高分和最低分，这组数据的平均数和方差分别是多少(结果保留小数点后两位)？

(2)如果去掉一个最高分和一个最低分，平均数和方差又分别是多少(结果保留小数点后两位)？

(3)你认为哪种统计平均分的方法更合理？

环节4：衡量一组数据的离散程度用极差、方差或标准差，那用什么衡量人生的价值呢？

最后我把伟大的文学家列夫.托尔斯泰的一句名言送给大吉共勉：

人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。

——列夫·托尔斯泰

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