复习题28公开课教案

解直角三角形教学设计

韩张中学

陈玉辉

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段

考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC中，∠C=90° ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinAA的对边a

斜边cA的邻边b

斜边cA的对边a

A的邻边b②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA

1

④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即cotA2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

三角函数

sinα

cosα

tanα

cotα

30°

1

23233A的邻边b

A的对边a 45°

2222 60°

3212

1 1 3

3

33

4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；

（2）平方关系：sin2Acos2A1

（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1 sinA（4）商（弦切）关系：tanA=

cosA5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：a2b2c2（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan (4) 面积公式：

（hc为c边上的高）

考点五、解直角三角形

应用

1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解

2、仰角、俯角、坡面

知识点及应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

2

铅垂线仰角俯角视线水平线h

ih:llα视线

h。坡度一般写成1:ml(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i的形式，如i1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ihtan。

l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）

1、解直角三角形的类型与解法

已知、解

法

已 知 条 件

解 法 步 骤

三角 类型

两直角边（如a，b）

a由tan A＝b，求∠A；∠B＝90°－A，c＝Rt△ABC

两

22

ab

B 边

斜边，一直角边（如c，a）

a由Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝c2-a2

c 一

锐角，邻边

b∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA cosAa

边

一角边

（如∠A，b）

A

b 一

和

锐角，对边

aa∠B＝90°－A，b＝，c＝C tanAsinA

角

一锐角

（如∠A，a）

斜边，锐角（如c，∠A）

∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A

2、测量物体的高度的常见模型

1）利用水平距离测量物体高度

数学模型

所用应测数据

数量关系

根据

工具

原理

侧倾α、β、

直角

tanα＝，tanβ＝

器

水平距离a 三角

x2x1皮尺

形的

边角

ι

关系

αx

1 x2 β

tanα·tanβa

＝a·tanα＋tanβ

3

ι

α

a β

x tanα＝ax

tanβ＝

x＝a·tanα·tanβ

tanβ－tanα

2)测量底部可以到达的物体的高度

数学模型

所用应测数据

工具

皮尺

目高a1

h 镜子

水平距离a1

镜子

a3

a2

a2

水平距离a3

h 皮尺

标杆高a1 a1

标杆

标杆影长a3

a2

a2

物体影长a3

侧倾器高h α

a1

水平距离a1

a2

皮尺

a2 侧倾倾斜角α

h1

器

仰角α

h α

俯角β

β

h2

水平距离a1

a1 3）测量底部不可到达的物体的高度（1）

数学模型

所用应测数据

工具

h1

h α

仰角α

β

俯角β

x

高度a 皮尺

侧倾器

数量关系

aaah＝1，h＝13

a3a2a2根据

原理

反射

定律

同一时刻物高与影长成正比

aaah＝3,h＝13

a1a2a2ha1tanα＝, a2h＝a1＋a2tanα

矩形的性质和直角三角形的边角关系

hhtanα＝1, tanβ＝2

a1a1h＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ）

数量关系

h1a

，tanβ＝

xx矩形的性质和直角三角形的边角关系

tanα＝h＝a＋h1＝a＋tanα) tanβ4 tanαa＝a(1＋tanβ根据

理论

矩形的性质和直角三角形的边角关系

α

β

a x h

俯角α

俯角β

高度

a－hatanα＝x, tanβ＝

x∴x＝a－ha＝

∴h＝a－tanαtanβatanα

tanβ

a 测量底部不可到达的物体的高度（2）

数字模型

所用应测距离

工具

A

h1

仰角α，

h

仰角β

α

β

水平距离a2

a1

x

a1

侧倾器高

a2 皮尺

侧倾

器

h1

仰角α

仰角β

h β

高度a α

x 数量关系

hh1 tanβ＝1

xa1xtanα＝∴h1＝a1tantan

tantana1tantantantanh＝a2＋h1＝a2＋

h－ahtanα＝x, tanβ＝x

tanαh＝

tanα－tanβh－ahtanα＝x, tanβ＝x、h＝tanα

tanα－tanβ

a＋hhtanα＝x, tanβ＝x

tanαh＝

tabβ－tanα

根据

原理

矩形的性质和直角三角形的边角关系

a

仰角α

仰角β

高度a α

β

h x

5

6

（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40º减至35º．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)

7

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