小结板书设计

《数系的扩充与复数的引入》复习课

教师:王沛环 一.教学目标

（1）

知识与技能 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件．了

解复数的代数表示法及其几何意义，会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加.减运算的几何意义．

（2 ）过程与方法

通过考纲解读及基础知识的复习，构建出知识网络，领悟高考的本质．

（3 ）情感.态度与价值观

通过高考题目的练习，掌握复数题目的做题的方法，树立学习数学的信心．

二.教学重.难点

根据课程标准要求确定本节课的复习重点为: 复数的概念及复数的代数表示，复数相等的充要条件及复数代数形式的四则运算． 三.教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式.讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现.分析和解决问题。 四.学法指导

在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想.探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 五.教学程序 (一）基础梳理

1．复数的概念 (1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数，其中i叫做虚数单位，a和b分别叫做它的____和____．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________. (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_____________. 实数：b＝0.(4)复数的分类纯虚数：____.虚数：____非纯虚数：____.思考探究

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞z2，则a＞c说法正确吗？

2．复数的几何意义 (1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，横轴叫做实轴，____叫做虚轴．实轴上的点都表示____；除原点外，虚轴上的点都表示______．

（2）复数与点

（3）复数与向量

（4）复数的模

3．复数的运算

(1)复数的加.减.乘.除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

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①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

______________；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________ ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝

___________________；

z1a＋bia＋bic－diac＋bd＋bc－adi④除法：＝＝＝(c＋di≠0)．

z2c＋dic＋dic－dic2＋d2(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律.结合律，即对任何

z1.z2.z3∈C，有：z1＋z2＝_____，(z1＋z2)＋z3＝__________．

（二）典型例题

例1计算下列各式的值：

2i2＋4i1＋i3(1)1＋i2；(2)＋i. 2；(3)1＋i1－i2i2－44i2【解】

(1)1＋i＝2＝1＋i2i＝2i. 2＋4i2＋4i(2)＝＝2－i. 2i1＋i21＋i31＋i22i(3)＋i＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0. 21－i1－i1＋i设计意图：主要是巩固复数的运算。(1)复数的加法.减法.乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．

(2)记住以下结论，可提高运算速度：

1＋i1－ia＋bi＋＋①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4ni1－i1＋i＋3＝－i(n∈N*)．

变式训练 i2＋i3＋i41．(2011·高考重庆卷)复数＝(

) 1－i1111A．－－i

B．－＋i 22221111C．.－i

D．.＋i 2222例2(1)(2011·高考课标全国卷)复数33A．－i

B.i 55C．－i

D．I 1＋ai(2)(2011·高考安徽卷)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(

) 2－iA．2

B．－2 11C．－

D.

222＋i的共轭复数是(

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【解析】

(1)法一：∵∴2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－2＝＝＝i，

51－2i1－2i1＋2i2＋i的共轭复数为－i. 1－2i2＋i－2i2＋ii1－2i法二：∵＝＝＝i，

1－2i1－2i1－2i∴2＋i的共轭复数为－i. 1－2i1＋ai1＋ai2＋i2－a＋2a＋1i(2)＝·＝. 52－i2－i2＋i1＋ai∵为纯虚数．

2－i2－a＝0.∴∴a＝2. 2a＋1≠0，

设计意图

主要是巩固复数的有关概念。处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数还可用点Z(a，b)来表示．

变式训练 z1z12．已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(

) z2z2A．1 B．i 2C. D．0 5解析：选A.由＝z12＋ai2＋ai1＋2i2－2a4＋az1＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时z21－2i555z2＝i，其虚部为1. 2－i例3(2011·高考山东卷)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(

) 2＋iA．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2－i【解析】

∵z＝＝2＋i2－i24－4i－134＝＝－i，

2＋i2－i55543∴复数z对应的点的坐标为，－，在第四象限．

55设计意图 巩固复数的几何意义。数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．

变式训练

3.如图，平行四边形OABC，顶点O.A.C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：

→→(1)AO表示的复数，BC表示的复数；

→(2)对角线CA所表示的复数．

→→→解：(1)AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. 第

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→→→∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. →→→→(2)CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 1．复数的代数运算

(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加.减.乘.除运算法则，模的性质，共轭复数的性质等．

(2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i.1±i等)的运算，这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧，才能减少运算量，节省运算时间，达到事半功倍的效果．

2．复数的几何意义

(1)|z|表示复数z对应的点与原点间的距离．

(2)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．

（三）全课小结 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．

3．两个虚数不能比较大小．

4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

5．z2＜0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9＜0. 从近几年的高考试题来看，复数的基本概念.复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的考点，每套高考试卷都有一个小题，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的四则运算．预测2013年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，重点考查运算能力及转化与化归思想.方程思想．

（四）作业布置

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