小结优秀教案板书设计

第4讲

基本不等式小结

a＋b一教学内容与重点：1．基本不等式：ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

a＋b(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．

22．基本不等式的变形

(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

1(3)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时取等号；

a1a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．

aba(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

ab3．利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) s2(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4

二教学难点：两个技巧

(1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．

(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例a＋ba＋b2a＋b如：ab≤≤，ab≤≤

222两点提醒

(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．

(2)多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．

xy【例1】►(1)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

3422a2＋b2(a>0，b>0)．

2

(2)若函数f(x)＝x＋1(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________. x－2[审题视点] (1)直接利用基本不等式求解；

(2)先变形再利用基本不等式．

xy解析

(1)因为1＝＋≥2 34xy·＝2 34xy＝

12xyxy，所以xy≤3，当且仅当＝，即3343x＝，y＝2时取等号，故xy的最大值为3. 2(2)当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1＋2≥2 x－21x－2×＋2＝4，当且仅当xx－21－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. x－2答案

(1)3

(2)3

(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．

(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．

1【训练1】

(1)(2013·福州模拟)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(

)．

xA．最大值为0

C．最大值为－4

B．最小值为0 D．最小值为－4 111＋1＋的最小值为________．

(2)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab解析

(1)∵x<0，∴－x>0，

11∴x＋－2＝－－x＋－x－2 x≤－2 1－x·－2＝－4，

－x1当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立．

x11a＋ba＋b1＋1＋＝1＋(2)

1＋ababbaba2＋2＋＝5＋2＋

＝abab≥5＋4＝9. 1当且仅当a＝b＝时，取等号．

2答案

(1)C

(2)9

bccaab【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. abc[审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．

证明

∵a＞0，b＞0，c＞0，

bcca∴＋≥2 abbcab＋≥2 accaab＋≥2 bcbcca·＝2c；

abbcab·＝2b；

accaab·＝2a. bcbccaab以上三式相加得：2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，

bccaab即＋＋≥a＋b＋c，

abc当且仅当a＝b＝c时，取等号．

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．

【训练2】

已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111求证：＋＋≥9. abc证明

∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋

abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋

aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9，

1当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

3