阅读与思考 错在哪儿板书设计

高一数学一元二次不等式的解法分层教学设计

教学目标

基本目标

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可转化为一元一次不等式组；

（3）了解简单的分式不等式的解法；

中层目标

（4）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；

（5）能够进行简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

发展目标

（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生渗透数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程等基本数学思想；

（7）通过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证唯物观。

教学重点 一元二次不等式的解法

教学难点 弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系

教学方法 启发式教学、探究式教学

教学过程设计

第一课时

(一) 设置情境

问题：①解方程3x20; ②作函数y=3x+2的图像; ③解不等式3x20. 【置疑】在解决上述三个问题的基础上分析一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,回答能否通过观察一次函数的图像来求一元一次不等式的解？

【回答】能。函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式3x20的解为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。

简要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解。

一次函数

yaxb(a0)a0

a0

的图像

bxxabxxabxxabxxa

一元一次方程

axb0的解

一元一次不等式

axb0的解

一元一次不等式

axb0的解

bxxa

bxxa

在这里我们发现一元一次方程，一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解，类似地我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来找到其求解方法呢？

(二) 探索与研究

我们现在就结合不等式x2x60的求解来试一试。（师生共同活动∶用“特殊点yx2法”而非课本上的“列表描点”的方法作出x6的图像，然后请一位学***中等(B层)的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解。）

【答】方程x 不等式x22x60的解为xx2或x3

x60的解为2xx2或x3

【置疑】哪位同学还能写出x学回答）

【答】不等式x2x60的解法？（请一位学***中等(B层)的同x60的解为x2x3

我们通过二次函数y的那个题目：x2x2x6的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解2x60的解，还求出了xx60的解，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式ax来进行讨论。为简便起见，暂只考虑a如果相应的一元二次方程ax话，其对应的二次函数yax222bxc0(a≠0)与ax2bxc0(a≠0)0的情形。请同学们思考下列问题：

分别有两不等实根，两相等实根，无实根的的图像与x轴的位置关系如何？（请一位学bxc0bxc(a0)***上等(C层)的同学回答）

【答】二次函数yax2bxc的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解。

b24ac

0

0

0

二次函数

yax2bxc(a0)的图像

ax2bxc0的根

x1,2b2ax1x2b2a

ax2bxc0的解

的解

ax2bxc0【答】axax22xbxc0的解依次是bxx1或xx2;xxR但x;R.2a

bxc0的解依次是xx1xx2;;.

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，其关键就是抓住相应二次函数yax2bxc(a0)的图像，大家应尽快将表中的结果掌握。

0课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数a的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。（教师巡视，重点关注学***中下(A层)的同学。）

(三) 课堂反馈练习

1．解下列不等式：

（1）3x（3）4x层) 2．若代数式6x层) x227x20 (A层) （2）x (A层) （4）23x50 (A层) (B、C24x106x2x202x2的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。 (A(a1a)10(a0,aR)3．解不等式:参考答案：

1x2x31．（1） (B、C层) 12或xxx23；（2）R；（3）；（4）

12xx或x232． 1xaxa3．

当a1或1a0时，; 当a1时，x∈; 1xaxa当0a1或a1时，。

(四) 归纳总结

这节课我们学习了二次项系数a0的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解。

（五）

课外巩固作业

（P20 3；4；5）

（六） 板书设计

1．5 一元二次不等式的解法（1）

1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数间的关系(图表展示) 2．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数间的关系(图表展示) 第二课时

(一) 设置情境

（通过讲评上一节课课外巩固作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）

上节课我们只讨论了二次项系数a二次项系数a003．例题共赏

例1 例2 例3 4．课堂反馈练习（学生演板）

的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？

(二) 探索与研究

（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）

生1：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数a0的一元二次不等式的解集．

生2：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．

师：这两种见解都是合乎逻辑且可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易混淆导致错误，按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．（待

学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）

(三) 知识运用与解题研究

[训练一] 求解二次项系数a0的一元二次不等式

0对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为a的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（请两位学***中等(B层)的同学演板）

（1）144x2x （2）x22x80

（此两题是课本第21页习题1．5中1大题（2）、（4）小题．教师点评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）

[训练二] 可化为一元一次不等式组来求解的不等式

目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如(xa)(xb)0（或0）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本第20页上关于不等式(x4)(x1)0求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待阅读完毕，请一位学***中上、表达能力较强(C层)的同学回答．）

x40x10x40x10【答】因为满足不等式组或的x都能使原不等式x40x10满足不等式组(x4)(x1)0成立，反过来不等式(x4)(x1)0的x或x40x10，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．

这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们相等，现在请同学们求解以下各不等式．（请三位学***中下(A层)的同学演板．教师巡视，重点关注学***中下(A层)的同学）．

（1）(x2)(x3)0 （2）x(x2)0 （3）(xa)(xb)0(ab) （教师简要点评三位同学的解答，尤其要注意纠正表述方面存在的问题，然后讲解第21页的例5．）

x30例5 解不等式x7

因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解(xa)(xb)0（或0）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。解：略

现在请同学们完成课本第21页练习中第3、4题。

（待学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人查找原因，自行纠正。）

[训练三] 用“符号法则”解不等式的变式训练

x101．不等式x2与(x1)(x2)0的解集相同。此说法对吗,为什么? 2．解下列不等式：

2x1503x21（1）5x2 (A层) （2）2x (A层) x10（3）(x1)(x23x2)0 (B层) （4）(x2)(x3) (B、C层) x2212（5）x2 (B、C层) （每题均先由学生说出解题思路，教师简要板书求解过程）

参考答案：

1．不对。同x2时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

515xx222．（1）

0x203x2（2）原不等式可化为：2x，即2x, 解集为2xx0或x2。

（3）原不等式可化为(x1)0(x1)(x2)0x202, 解集为xx2但x1

（4）原不等式可化为x10(x2)(x3)0或x10(x2)(x3)0, 解集为x1x2或x3

x221202x2x6(5)原不等式可化为：2xx60(分母x202x22(x2)2xx600x202或0!), 解集为xx2

(四) 归纳总结

这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干个一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。

（五）

课外巩固作业

（P22 2（2）、（4）；4；5；6）

（六）

板书设计

1．5 一元二次不等式的解法 (2) [训练一]求解二次项系数a二次不等式

课堂练习（学生演板）

（1）144x20的一元x

（2）

x22x80[训练三]用“符号法则”解不等式的变式训练（有关题目通过多媒体展示）

题1 题2（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

[训练二]可化为一元一次不等式组来求解的不等式

特征：左式为若干个一次因式的积或商，右式为0