阅读与思考 海伦和秦九韶教学实录

2．2 等差数列

（一）教学目标

1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

（二）教学重、难点

重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

（三）学法与教学用具

学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具：投影仪

（四）教学设想

[创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究] 由学生观察分析并得出答案：

（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：

时间

第1年

第2年

第3年

第4年

年初本金（元）

10 000 10 000 10 000 10 000 3 年末本利和（元）

10 072 10 144 10 216 10 288

第5年

10 000 10 360 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①

48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④

看这些数列有什么共同特点呢？

（由学生讨论、分析）

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

A-a=b-A 所以就有

Aab

2由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，a2a4a1a5,a4a6a3a7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则

amanapaq

[等差数列的通项公式] 4

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列{an}的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。

由学生经过分析写出通项公式：

①

这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an5n

② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an485(n1)

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an182.5(n1)

④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an1007272(n1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项a1和公差d，它的通项公式是什么呢？

引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

a2a1d,

（n-1）个等式

a3a2d,

a4a3d, …

所以 a2a1d,

a3a2d,

a4a3d,

……

思考：那么通项公式到底如何表达呢？

a2a1d,

a3a2d(a1d)da2d,

a4a3d(a12d)da3d,

5

……

得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为：ana1(n1)d

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项a1和公差d，那么这个等差数列的通项an就可以表示出来了。

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）：

{an}是等差数列，所以 anan1d,

an1an2d,

an2an3d,

……

a2a1d,

两边分别相加得 ana1(n1)d,

所以 ana1(n1)d

（迭代法）：{an}是等差数列，则有 anan1d

an2dd an22d

an3d2d

an33d

……

a1(n1)d

所以 ana1(n1)d

[例题分析] 例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中6

的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。

解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a208(211)(3)49

⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)

答：需要支付车费23.2元。

例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。

（放投影片）思考例题：例3 已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），

求差得

anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p

它是一个与n无关的数. 所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q. anpnq的数列，例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通7

项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

[探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

[随堂练习] 例1之后：课本45页“练习”第1题；

例2之后：课本45页“练习”第2题；

[课堂小结] 本节主要内容为：

①等差数列定义：即anan1d(n≥2) ②等差数列通项公式：ana1(n1)d(n≥1) 推导出公式：anam(nm)d

(五）评价设计

1、已知{an}是等差数列. ⑴

2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？

⑵

2anan1an是否成立？据此你能得出什么结论？

（）1n1 2anankan是否成立？据此你又能得出什么结论？

（）kn12、已知等差数列{an}的公差为d.求证：amand

mn8