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n数列求和学案

授课人

：赵津伟

高三数学组

班级

姓名

一、考纲要求：

1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，掌握常见的非等差、等比数列的求和方法. 2.能在具体情境中识别等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的求和问题. 二、教学目标：

1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式．

2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法，如错位相减法、列项相消法、分组求和法、并项求和法等。

三、教学重难点：

1、错位相减法求和的注意事项

2、裂项相消法的应用背景

四、温故知新：数列求和的常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

①等差数列的前n项和公式：

S＝na1＋ann2=

②等比数列的前n项和公式：

na1，

q＝1S＝na1－anq1－q＝

，

q≠1

2．分组求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和是用就此法推导的．

4．裂项相消法

把

数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（-1）f(n)类型，可采用两项合并求解．

例如Sn＝1002-992982-97222-12＝(100＋99)＋(98＋

97)＋…＋(2＋1)＝5050. 五、典例突破：

类型一

分组求和法

【例1】

已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq

(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：

(1)p，q的值；

(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．

点评：对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和

变式训练1 求和S111111n＝1＋1＋2＋1＋2＋4＋…＋1＋2＋4＋…＋2n－1

用最少的悔恨面对过去;用最少的浪费面对现在;用最多的梦面对未来

类型二 错位相减法

【例2】【2017山东，文19】已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1a26,a1a2a3. [来(I)求数列{an}通项公式；

(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知S2n1bnbn1,求数列bna的前n项和Tn. n

点评：1. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 2．

在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 变式训练2 求和：S＝1×1112n－1n2＋3×4＋5×8＋…＋2n

类型三 裂项相消法

【例3】【2015高考新课标1，理17】Sn为数列{an}的前n项和. 已知an＞0，a2n2an4sn3. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设b1na错误！未找到引用源。

,求数列{bn}的前n项nan1和.

点评：1.在对b1n进行裂项时，易犯2n12n112n112n1的错误，可通过通分验证。

2.在用裂项相消法求和时，消项后并不一定只剩下第一项和最后一项，也可能剩下前几项和后几项

变式训练3 .求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n的前n项和Sn

类型四 并项求和法

【例4】数列{（-1）n·n}的前100项的和s100＝________.

点评：1.两两结合时注意各项正负相间的特点. 2.在用该法求和时要注意选择哪两项结合的异同.

变式训练4 若数列{ann}的通项公式是an＝(－1)·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a100等于________．

六、真题演练

1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝(

) A.n[－1n－1]－1n－1＋1－1n2

B.2

C.＋12

D.－1n－12

2．数列{a1n}的通项公式为an＝n＋1＋n，已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于(

) A．6

B．7 C．48

D．49 3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，…，则a10的值为(

) 用最少的悔恨面对过去;用最少的浪费面对现在;用最多的梦面对未来

A．750

B．610 C．510

D．505 4．数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an1,－…是首项为1，公比为13的等比数列，则an等于(

) 5．A.313121212(1－3n)

B.2(1－3n－1)

C.3(1－3n)

D.3(1－3n－1)

5.设S11＋113n＝2＋612＋…＋nn＋1，若Sn·Sn＋1＝4，则求n的值

七、小结与反思

（1）对于数列求和，一般需要写出数列的通项公式，分析通项公式的结构，选择合适的方法。

（2）等差数列、等比数列用公式法求和；

（3）通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则用分组求和法，即和差数列anbn用分组求和法；

（4）如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，则用错位相减法，即积数列anbn用错位相减法；

（5）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项1可以相互抵消，从而求得其和，即商数列a用裂项相消法；

nan1

（6）形如an＝（-1）nf(n)类型，可采用并项求和法求解．

八、作业布置 专题层级快练

微小的勤奋只要坚持下去也会成就非凡，微小的惰性日积月累亦会带

来巨大的失败。

用最少的悔恨面对过去;用最少的浪费面对现在;用最多的梦面对未来