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简单的线性规划问题

陈长宏

睢县回族高级中学

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一、教材分析：

1、教材的地位与作用：

本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

2、教学重点与难点：

重点：

画可行域；在可行域内,用几何法准确求得线性规划问题的最值。

难点：在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

二、目标分析：

在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标。

知识目标：

1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；

2、理解线性规划问题的几何法；

3、会利用几何法求线性目标函数的最值．

能力目标：

1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力

。

2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力。

3、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。

情感目标：

1、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在生活中的作用，品尝学习数学的乐趣。

2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神；

三、教学过程：

数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，提出问题；2、分析问题，形成概念；3、反思过程，提炼方法；4、变式演练，深入探究；5、运用新知，解决问题；6、归纳总结，巩固提高。

2

回顾旧知：（提问）

1.如何画出一元二次不等式表示的区域？含不含等号对区域有什么影响？

（线定界，点定域）

xy62.请同学们作出不等式组表示的平面区域。

2xy8引入新知：

1、创设情境，

提出问题：（通过学生关注的热点问题引入，激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。）

例：《星光大道》是大家喜欢的娱乐节目，为了提高更多的收视率，央视准备为宣传《星光大道》每周播放两套宣传片如下：

电视台每周应播放两套宣传片各多少次，才能使收视观众最多,最多是多少？

解:设甲播放x次，乙播放y次，收视观众z万人次，则z6x2y

4x2y162xy8xy6xy6依题，列出不等式组：且x,yN化简为且x,yN

x0x0x0y0根据不等式组作出平面区域如图，

作出直线：l0即z最大；

:y3x

平移l0至点A处纵截距最大，4x2y16x2解方程组：得，即点A（2，4）

xy6y4因此，Zmax622420

答：甲播放2次，乙播放4次，收视观众最多为200万人次. 2、分析问题，形成概念

讲解思路：1.几个变量？2.变量要求,3. z6x2y转化化归（本节重难点）直线

3

方程，与y3x平行；

解出问题的同时给出相关概念：

不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z=6x+2y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。由于z=6x+2y又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。

一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。象上述求解线性规划问题的方法叫几何法。

（由前面实际问题的解决自然地过渡到新概念的讲解，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成。）

3、反思过程，提炼方法

求解的基本步骤：

（1）列出目标函数（根据具体的题目而定，已经给出目标函数的则此步骤可省）

（2）

画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；

（3）过原点作目标函数直线的平行直线；

（4）平移直线，观察确定可行域内最优解的位置；

（5）求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。

简记为列——画——作——移——求五步。

4、变式演练，深入探究 例题２：在例1条件下求Z2xy的最大值和最小值。(让学生自己尝试) （使学生产生思想上的知识的冲突，从而进一步认识到目标函数直线的纵截距与Ｚ的最值之间的关系！不是求最大就是向上平移！）

5、运用新知，解决问题

xy10练习1：1.(2016全国卷3)若x,y满足约束条件x2y0则zxy的最大值x2y20为________________. yx练习2：已知实数x,y满足xy1，则目标函数z2xy的最大值为（

）

y11A.6

B.5

C.

D.3

2

4

（及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况。学生独立完成巩固性练习，老师投影有代表性的学生解答过程，给予积极性的评价，并强调注意点。同座同学间相互交流、批改和更正。迅速清楚地发现以前用解不等式的知识错解此类题的原因。让学生再一次深刻体会到数形结合的妙处，同时又巩固了旧知识，完善了知识结构体系。）

6、归纳总结，巩固提高

1.解线性规划有关概念.

2.用图解法解决线性规划问题的一般步骤. 3.目标函数的几何意义. （学生回答）

布置作业：

1、课本P91：1、2

2、赢在微点P106

y2y4

（2）z

（3）yx2y2xx1又该如何去求Z的最大值和最小值呢？

3、思考题：目标函数变为（1）z【设计意图】让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，并为下一课时目标函数的其它几何意义的教学埋下伏笔。

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