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不等式章末小结

教学目标：

1、能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小。

2、熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．

教学重点：基本不等式的性质及应用

教学难点：基本不等式的应用，含参数不等式的解法和求最值的问题

教学过程：

一、知识概览

对点讲练

二、基本题型

1、一元二次不等式的解集

例1

已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，

(1)求a，b；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.

回顾归纳

(1)解含参数的不等式(x－a)(x－b)>0，要讨论a与b的大小再确定不等式的

解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．

(2)应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为零的情况．

(3)要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想，分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．

变式训练1

解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.

2、利用基本不等式求最值

例2

(1)设0

3(2)求＋a (a<4)的取值范围．

a－4

回顾归纳

利用基本不等式求函数最值，可利用条件对函数式进行转化，构造成基本不等式成立的形式．应用时应满足“一正、二定、三相等”特别是相等条件的运用，可同时求得取得最值时应满足的条件．

x2＋7x＋10变式训练2

(1)求函数y＝

(x>－1)的最小值；

x＋1(2)已知：x>0，y>0且3x＋4y＝12.求lg x＋lg y的最大值及相应的x，y值．

3、简单的线性规划

x≥1例3

已知x、y满足约束条件x－3y≤－43x＋5y≤30

. (1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；

y＋5(2)求z＝的取值范围．

x＋5

回顾归纳

线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．

变式训练3

实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求：

b－2(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．

a－1

三、小结

1．不等式的基本性质是比较大小、不等式性质的证明、不等式的证明、解不等式的主要依据．

2．不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0或小于0时的x的取值范围，应结合一元二次函数的图象去理解一元二次不等式的解集，解集的端点即为相应方程的实根或相应函数的零点．

3．应用基本不等式时，要创设符合定理的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.

四、课时作业

一、选择题

1．若a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(

) aaaaA．a>>2

B.2>>a

bbbbaaaaC.>2>a

D.>a>2

bbbb2x－1>a2．不等式组有解，则实数a的取值范围是(

) x－4<2aA．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) x＋53．不等式≥2的解集是(

) x－121－1，3

－3，

A.

B.221－1，1∪(1,3] ，1∪(1,3]

C.

D.224．向量＝(1,0)，＝(1,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足条件，则点P的变化范围用阴影表示为(

)

3x－y－6≤0，5．设x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，23为12，则＋的最小值为(

) ab25811A.

B.

C.

6331

2

题

号

答

案

二、填空题

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值D．4 3

4

5

6．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．

17．函数y＝x(1－2x)(0

2148．若正数a、b满足＋＝2，则a＋b的最小值为________．

ab三、解答题

9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.

10．某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．

(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；

(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

不等式小结答案

例1

解

(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1. 31＋b＝，a由根与系数的关系，得21×b＝.a所以a＝1，b＝2.

a＝1，解得

b＝2.

(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，

即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2

②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c

③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2

当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c

当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅. 变式训练1

解

原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，

aax＋x－<0. 即78

aaaa①当－<，即a>0时，－

7878aa②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为∅；

78aaaa③当－>，即a<0时，0时，原不等式的解集为

aax|－

78当a＝0时，原不等式的解集为∅；

aa当a<0时，原不等式的解集为x|8

解

(1)∵02>0，

3x＋8－3x8∴y＝3x8－3x≤＝＝4，

224当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．

34∴当x＝时，y＝3x8－3x有最大值4. 3(2)当a<4时，a－4<0，

33∴＋a＝＋(a－4)＋4 a－4a－43＝－4－a＋4－a＋4 3≤－2×4－a＋4＝－23＋4，

4－a3当且仅当＝(4－a)，即a＝4－3时，取等号．

4－a3∴＋a的取值范围是(－∞，－23＋4]．

a－4变式训练2

解

(1)∵x>－1，∴x＋1>0. x2＋7x＋10x＋12＋5x＋1＋4∴y＝＝

x＋1x＋144＝(x＋1)＋＋5≥2x＋1x＋1＋5＝9. x＋14当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．

x＋1x2＋7x＋10∴当x＝1时，函数y＝

(x>－1)的最小值为9. x＋1(2)∵x>0，y>0，且3x＋4y＝12. 113x＋4y2∴xy＝(3x)·(4y)≤＝3. 12122∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 3.当且仅当3x＝4y＝6，

3即x＝2，y＝时等号成立．

23∴当x＝2，y＝时，lg x＋lg y取最大值lg 3. 2例3

解

(1)作出不等式组表示的可行域如图：

作直线l：2x－y＝0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的C点，此时z有最小值，

x－3y＝－4解，

3x＋5y＝30

得B(5,3)，

x＝1271，，

解，得C53x＋5y＝302717∴zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－. 55(2)D点坐标为(－5，－5)，由图可知，kBD≤z≤kCD，

27－－553－－5426∵kBD＝＝，kCD＝＝，

5－－551－－515y＋5426∴z＝的取值范围是5，15. x＋5变式训练3

解

(1)设f(x)＝x2＋ax＋2b，

2b>0f0>0由题意可得f1<0，即1＋a＋2b<0，

f2>04＋2a＋2b>0b>0∴a＋2b＋1<0，

a＋b＋2>0b>0故a，b满足的约束条件为a＋2b＋1<0，画出约束条件的可行域如图阴影部分，

a＋b＋2>0

a＋2b＋1＝0解，得A(－3,1)．

a＋b＋2＝0

11又B(－2,0)，C(－1,0)，故点(a，b)对应区域的面积S＝×1×1＝. 22b－22－0(2)可看作区域内点(a，b)与D(1,2)连线的斜率，由图知：kCD＝＝1，

a－11－－12－111b－2kAD＝＝，∴<<1. 4a－11－－34

(3)(a－1)2＋(b－2)2可看作区域内点(a，b)到D(1,2)的距离d的平方，而由图知CD

AD2＝(1＋3)2＋(2－1)2＝17，∴8

即(a－1)2＋(b－2)2的值域为(8,17)．

课时作业

aa1aa1．C

[取a＝－2，b＝－2，则＝1，2＝－，从而>2>a.] bb2bb2x>a＋12．A

[不等式组即，若有解，

x<2a＋4

则a2＋1<2a＋4，解得－1

[易知x满足：x≠1且2(x－1)2≤x＋5，

1解得－≤x≤3且x≠1.] 24．A

[∵＝(x，y)，

∴·＝x，·＝x＋y，

0

0

易得用阴影表示为A.] 5．A

[不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，

即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，

23232a＋3b13ba1325而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝.] abab66ab666．A

解析

A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0. ∴A

81解析

0

2∴1－2x>0,2x>0. 1∴y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x) 212x＋1－2x21≤()＝. 22811当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，函数有最大值. 4898.

21411b2a19＋＝＋2＋＋≥＋2＋2＝，

解析

a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×ab222ab22

b2a当且仅当＝时取“＝”．

2ab9．解

(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程

(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

1－a<04＝－2∴1－a61－a＝－3

，解得a＝3. ∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0 3即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>. 23∴所求不等式的解集为x|x<－1或x>2. (2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6. 3610．解

(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值20x. x36161由题意f(x)＝·4＋k·20x，由x＝4时，y＝52，得k＝＝. x805144∴f(x)＝＋4x (0≤x≤36，x∈N*)．

x144(2)由(1)知f(x)＝＋4x (0

x144∴f(x)＝2·4x＝48(元)．

x144当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．

x故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．