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《简单的线性规划》教案

二．教学目标：.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；

.能根据条件建立线性目标函数；

.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 三．教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解. 四．教学过程：

（一）复习练习：

．画出下列不等式表示的平面区域：

（）(xy)(2x3y3)0；

（）|3x4y1|5．

（二）新课讲解：

x4y3．引例：设z2xy，式中变量x,y满足条件3x5y25，求z的最大值和最小值. x1问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）

那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？

由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x0,y0时，z2xy0，即点(0,0)在直线l0：2xy0上，

作一组平行于l0的直线l：2xyt，tR，

可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)

满足2xy0，即t0，

而且，直线l往右平移时，t随之增大。

由图象可知，

当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，

当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，

所以，zmax25212，zmin2113．

．有关概念

在上述引例中，不等式组是一组对变量x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z2xy是要求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式，叫目标函数。又由于z2xy是x,y的一次解析式，所以又叫线性目标函数.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题O

y

x1

C

A

x4y30

B

3x5y250

x

中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

（三）例题分析：

x4y3例．设z6x10y，式中x,y满足条件3x5y25，求z的最大值和最小值. x1解：由引例可知：直线l0与AC所在直线平行，

则由引例的解题过程知，

当l与AC所在直线3x5y250重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，

当l经过点B(1,1)时，对应z最小，

∴zmax6x10y50，zmin6110116．

说明：．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。

2xy30例．已知x,y满足不等式组2x3y60，求使xy取最大值的整数x,y．

3x5y150解：不等式组的解集为三直线l1：2xy30，l2：2x3y60，l3：3x5y150所围成的三角形内部（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C1537512,)，B(0,3)，C(,)，

841919作一组平行线l：xyt平行于l0：xy0，

坐标分别为A(当l往l0右上方移动时，t随之增大，

∴当l过C点时xy最大为y

A

O

l1

l3

C

63，但不是整数解，

19x

l2

75又由0x知x可取1,2,3，

19当x1时，代入原不等式组得y2，

∴xy1；

当x2时，得y0或1，

∴xy2或1；

当x3时，y1，

∴xy2，

x2x3故xy的最大整数解为或．

y0y1B

说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有相应整数值，即先固定x，再用x制约y．

xyz13yz2例．设x,y,z满足约束条件组，求u2x6y4z的最大值和最小值. 0x10y1解：由xyz1知zxy1，代入3yz2中，得2yx1，u2x2y4，

2yx1l

y

∴原约束条件组可化为0x，

l0

0y1B

如图，作一组平行线l：xyt平行于l0：xy0，

由图象知，当l往l0左上方时，l往左上方移动时u随之增大，

当l往l0右下方移动时，u随之减小，

所以，当直线l经过A(1,1)时，umin212144；

当直线l经过B(0,1)时，umax202146．

五．小结：．线性规划问题的有关概念；

．线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；

．线性规划问题的最优整数解.

六．作业：课本第页组

第题.

天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。

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O

1

x