1.1 回归分析的基本思想及其初步应用PPT及课堂实录内容

1．1

回归分析的基本思想及其初步应用教学设计

河南华夏外国语高级中学 王春雷

学习目标

1.了解随机误差、残差、残差图的概念．

2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．

3．掌握建立回归模型的步骤．

4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法和初步应用．

温故夯基

1．我们在《必修3》中已经学习了统计的知识．三种随机抽样方法是____________、________和________．

2．我们还学习了用样本的____分布估计________，用样本的数字特征估计______________．如用样本的____估计总体的离散与集中程度．

3．《必修3》主要研究两个变量的____相关性，并建立了____________．

知新益能

1．线性回归模型

^^^^^^(1)在线性回归方程y＝a＋bx中b＝_________________，a＝y－bx.其中x＝______，

y＝_______，_______称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心．

(2)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b为模型的未知参数，e称为_________．

(3)随机误差产生的原因主要有以下几种：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差；

②忽略了某些因素的影响；

③存在观测误差．

2．刻画回归效果的方式

(1)残差分析

ˆi称为相应于点(xi，yi)的残差．

e①残差：把随机误差的估计值 ②残差图：作图时______为残差，______可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．

残差点比较____地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度____，说明模型拟合精度越高．

(2)利用R2刻画回归效果

i＝1

yi－yi2；R2表示____变量对____变量变化的贡献率．R2越接近__，表示回归的n^R2＝1－i＝1

yi－y2n效果越好．

问题探究

线性回归方程能否用散点图中的某两点来确定？

提示：不能用散点图中某两点的直线方程来作为线性回归方程．由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，^^因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b可以由最小二乘法估计a、b，就是a、b的估计值．

考点突破

考点一：线性回归分析

解答线性回归题目的关键首先应通过散点图来分析两变量间的关系是否相关，然后利用求回归方程的公式求解回归方程．

例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：

学生

学科成绩

数学成绩(x) 物理成绩(y) A

88 78 B

76 65 C

73 71 D

66 64 E

63 61

(1)画出散点图；

(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；

(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．

【思路点拨】

先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关再利用线性回归模型求解预报变量．

【解】

(1)散点图如图：

^所以b＝i＝1xiyi－5x

yxi2－5x52525054－5×73.2×67.8＝≈0.625. 27174－5×73.22i＝1^^a＝y－bx＝67.8－0.625×73.2＝22.05. ^所以y对x的回归直线方程是y＝0.625x＋22.05. 1

(2)x＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，

51y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. 5

i＝1xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054. 55i＝122222x2i＝88＋76＋73＋66＋63＝27174. ^(3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩约是82.

【思维总结】

求回归直线方程的一般方法是：作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中进行描点，这样表示出的两个变量的一组数据的相关图形就是散点图，从散点图中我们可以判断样本点是否呈条状分布，进而判断两个变量是否具有相关关系．

互动探究1 在本例中，求数学成绩y对物理成绩x的回归直线方程，并预测当一名学生的物理成绩是82时，其数学成绩为多少？

解：∵x＝67.8，y＝73.2，

5i＝1xiyi＝25054，

5i＝122222x2i＝78＋65＋71＋64＋61＝23167，

^∴b＝i＝1xiyi－5x

y＝i＝15x2i－5x5225054－5×73.2×67.8

23167－5×67.82≈1.309. ^^a＝y－b

x＝73.2－1.309×67.8＝－15.55. ^∴数学成绩y与物理成绩x的回归直线方程为y＝1.309x－15.55. ^当x＝82时，y＝1.309×82－15.55≈73.83. 即可以预测他的数学成绩为73.83.

考点二：残差分析

通过对残差图的分析，得出模型的拟合效果

已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：

x

14 16 18 20 22

y

12 10 7 5 3

求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．

【思路点拨】

作散点图→得到x、y有较好线性关系→

代入公式求得线性回归方程→将x代入求得对应值→求残差平方和e2ii＝15→求得相关指数R2

1【解】

x＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，

51y＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，

522222x2i＝14＋16＋18＋20＋22＝1660，

5i＝1i＝122222y2i＝12＋10＋7＋5＋3＝327，

5i＝1xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，

5^所以，b＝i＝1xiyi－5x

y＝i＝15x2i－5x52620－5×18×7.4＝－1.15，

1660－5×182^a＝7.4＋1.15×18＝28.1，

^所以所求回归直线方程是：y＝－1.15x＋28.1.

列出残差表：

^yi－yi

yi－y

0

4.6

0.3

2.6

－0.4

－0.4

－0.1

－2.4

0.2 －4.4 55^所以，

(yi－yi)2＝0.3，

(yi－y)2＝53.2，

i＝1i＝1

R＝1－2i＝15

yi－yi2≈0.994，

5^i＝1

yi－y2所以回归模型的拟合效果很好．

【思维总结】

回归模型拟合效果的好坏可以通过计算R2来判断，其值越大，说明模型的拟合效果越好．

变式训练2 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：

x

y

5 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.9 30 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程；

(2)求出R2；

(3)进行残差分析．

解：(1)散点图如图

1x＝(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，

61y＝(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8) 6≈9.487，

62xi＝2275，xiyi＝1076.2. i＝1i＝16^^计算得，b≈0.183，a≈6.285，

^所求回归直线方程为y＝6.285＋0.183x.

(2)列表如下：

^yi－yi

yi－y

0.05

－2.24

0.005

－1.37

－0.08

－0.54

－0.045

0.41

0.04

1.41

0.025 2.31

66^所以

(yi－yi)2≈0.01318，

(yi－y)2＝14.6784. i＝1i＝10.01318所以，R2＝1－≈0.9991，

14.6784回归模型的拟合效果很好．

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．

方法技巧

1．对具有相关关系的两个变量进行统计分析时，首先进行相关关系的判断(可作散点图)，在确认具有线性相关关系后，再求回归直线方程．对于非线性回归问题，可以转化为线性回

归问题去解决．如例1. i＝1

yi－yi2.R2的值n^2．我们可以用相关指数R来刻画回归的效果，其计算公式是R＝1－22i＝1

yi－y2n

越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量的贡献率，R2越接近于1，说明回归的效果越好．

失误防范

1．散点图可以直观地反映出变量之间有无相关关系以及是正相关还是负相关，但不能精确地说明变量之间的相关程度．

^2．利用回归直线方程求的y值，在很多时候是一个预报值，并不是真实值，但这个值在研究总体时，可以作为一个参考．