3.1.2 复数的几何意义优质课教案设计

§3.1.2复数的几何意义

教学目标：

知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系

过程与方法：了解复数的几何意义

情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定. 教学过程：

实数的几何意义？

实数可以用数轴上的点来表示.

在平面几何上，我们用什么来表示实数?

实数

（一一对应）

数轴上的点

数---------形

想一想

复数的几何意义又是什么呢？复数一般形式又是什么

Z=a+bi(a, b∈R)

（a实部）(b虚部）

一个复数由什么确定？

复数的几何意义？

讲授新课：

复平面、实轴、虚轴：

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应yZ(a，b)关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数b相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)oxa它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等. 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数zabi复平面内的点Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 注意：实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，除原点外，因为原点表示实数0. 复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i. 例题1练一练

复平面内的原点(0,0)表示(

) 实轴上的点(2,0)表示(

) 虚轴上的点(0,-1)表示(

) 点(-2,3)表示(

) 找出与下列复数对应的点的位置,且在复平面内画出这些复数对应的向量：

（1）i;

（2）2-2i;

（3）(2+i) ×i;

（4）i-1；

一一对应

结

论：由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的. 二

复数的第二个几何意义

向量的几何意义？在平面几何上，我们用什么来表示向量? 向量可以用平面直角坐标系上的点来表示. 向量与平面直角坐标系的点一一对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

复数z=a+bi 与

直角坐标系中的点Z(a,b)

与

平面向量OZ一一对应

由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的. 结论：复数z=a+bi 与

平面向量OZ一一对应

注意：为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量

OZ

且规定相等的向量表示同一个复数. 向量

OZ

的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，

那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：

|z|= |a+bi|=r,

例题2已知某个平行四边形的三个顶点所对应的复数分别为2，4+2i，

-2+4i，求第四个顶点对应的复数.

抢答：

求下列复数的模：

(1)z1=-i

(2)z2=-3+4i

1.

复数的实质是一对有序实数对

2.

用平面直角坐标系表示复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；

3.

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；

4.

复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi)；

5.

复数的两个几何意义

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的

复数z=a+bi 与

直角坐标系中的点Z(a,b)

与

平面向量OZ一一对应

练习1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x+y+4=0上，求实数m的值. 2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.

提高3．若复数z满足|z－3|≤

5

，求|z－(1＋4i)|的最大值和最小值

解析：复数z满足|z－3|≤

5

，它对应的点位于以(3,0)为圆心，以

5

为半径的圆上．|z－(1＋4i)|表示的是复数z对应的点到点(1,4)的距离．如下图所示．

|z－(1＋4i)|的最大值是

|1＋4i－3|＋

5

＝|－2＋4i|＋

5

＝3 5

. |z－(1＋4i)|的最小值是

|1＋4i－3|－

5

＝|－2＋4i|－

5

＝5

作业

p 55.

4

.

5

.

.