3.1.2 复数的几何意义优质课一等奖

高中数学选修1-2人民教育出版社A版第三章

课题：3.1.2复数的几何意义

（教案） 昆明十六中 吕俊梅 教学分析

复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

教学目标

1.知识与技能目标

理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模. 2.过程与方法目标

通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力. 3.情感与态度价值观目标

通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣. 重点与难点

重点：复数的几何意义以及复数的模；

难点：复数的几何意义及模的综合应用. 教法与学法

教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式. 学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式. 教具准备：三角板、多媒体等

教学过程

教学教师活动

环节

学生活动

设计意图

1

1.复数的代数形式为

zabi，a为

实部

，b为

虚部

。

2.复数zabi(a,bR)是实数、虚数、纯虚数所满足的创

设

情

境

条件分别是？

针对上述问题，学生学生容易回答前进行讨论。

面一个问

题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。

新

探究一：复数的几何意义

思考1:实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

复平面：以x轴为实轴

，y轴为虚轴建立直角

坐标系，得到的平面

叫复平面。

练***面内描出复数2+5i,-3+2i,2-4i,-3- i,5,-3i分别对应点的坐标。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi）

2

①

当且仅当b=0时,z为实数。

②

当且仅当a=0,b≠0时，z为纯虚数。

③

当且仅当a=b=0时，z=0. 复数相等的条件

a+bi=c+di当且仅当 a=c,b=d 教师提出问题

学生思考，进行小组讨论。

学生回答，并总结

师生共同总结

练习1学生自己完成，老师投影展示

通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找到复数的几何意义

练习1根据复数的几何意义，在复平面内能描出

知

研

探

观察练习1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结

论？

实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚

练习2：完成课本54页练习1。

复数与复平面内的点一一对应。

复平面的有关概念介绍

1、复平面

2、实轴上的点都表示实数

3、虚轴 除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数

例1、下列命题中的假命题是（ ）

A、在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

B、在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

C、在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

D、在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

例2、已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。

22复数的点

练习2根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数对应的点

例1理解复数的几何意义

让学生理解表示复数的点所在象限的问题转化，复数的实部与虚部所满足的

练习2学生自己完成，老师投影展示

教师通过多媒体展示，让学生认知复平面内基本概念

例1学生自己完成

学生说思路，师生共同完成

师生点评做题情况

总结例2的22mm60

解：由22

mm203m2得m2或m1m(3,2)(1,2)变式一、已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。

方法规律

3

解：∵复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点是（m+m-6，m+m-2），

∴(m+m-6)-2(m+m-2)+4=0，

∴m=1或m=-2。

变式二：已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

22222222学生独立思不等式组考，并回答。的问题，并教师点评

学生小组合作讨论

师生共同总结

教师通过多掌握重要的数学思想：数形结合思想.

通过思考2，让学生能够把复数和向量相结合，从而推导复数的另一个几何意义。

让学生通证明：若复数所对应的点位于第四象限，2mm60则2

mm20

m3或m2即2m1

不等式解集为空集

所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

思考2：平面向量OZ的坐标为

(a,b),由此你能得出复数的另一个几何意义吗？

复数的几何意义：

1复数zabi2复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)

一一对应平面向量OZ；

媒体展示，让学生认知复数的另一个几何意义。

探究二：复数的模

思考3：实数的绝对值、向量的模的几何意义是什么？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗? 4

复数zabi(a,bR)的模：zOZ=a2b2

教师引导完过类比向量模的几何意义，归纳出复数成

复数的模的几何意义:复数z的模即为z 对应平面向量 OZ的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在复平面上对应模的几何意义。

的点Z(a,b)到原点的距离。

例3求下列复数的模：

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=4-3i

例

题

分

析

（2）

3z5

解（1）图形:以原点为圆心, 半径为5的圆

（2）设z=x+yi(x,y∈R)

以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

思考：

设zC满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）

z5

例3学生自己完成

思考教师引导，学生讨论。

三个小题的模都是5,从而更好理解复数模的几何意义. 3x2y25

5

（巡视，个别辅导，及时评价）

练***面内，若复数z＝(m－m－2)＋(m－3m＋2)i对应点

(1)在虚轴上；(2)在第二象限；

当

(3)在直线y＝x上．

分别求实数m的取值范围

堂

检

测

通过试题尝试独立完的形式检测学生对知识的掌握情况

22解：(1)由题意得m－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1. m－m－2＜0(2)由题意得2

m－3m＋2＞0－1＜m＜2∴

m＞2或m＜1’∴－1＜m＜1.

22

成练习并回

答结果

(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.

课后拓

展

延

伸

1、复数几何意义

课堂

2、复数模的几何意义

小结

3、数学思想方法：类比、数形结合

以提问的方式来达到总结的目的

引导学生一起总结本节课的主要内容.

作业布置

作业1 P55A组第4、5和B组1、2.

1、如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是部分学生尝___________ 试完成

的求知欲. 好的学生满足成绩6