柱体、锥体的展开与折叠教学设计第二课时

4 平行线的性质

教学目标

【知识与技能】

经历证明平行线性质的过程,进一步掌握平行线的性质,并了解证明的方法与步骤,体会论证的科学与严谨.

【过程与方法】

经历观察、操作、推理、交流等学习活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

【情感、态度与价值观】

推导、论证定理正确性的过程,有利于培养学生严谨的逻辑思维能力,让学生领悟数学的魅力,增强他们对数学的兴趣.

教学重难点

【重点】

数学证明平行线的性质.

【难点】

运用严谨、科学的方法进行数学证明.

教学过程

一、复习引入

1.练习回顾.

(如图1)是在三星堆考古工作中发掘的一个残缺玉片,工作人员复原后发现其形状是梯形(如图2),并且已经量得∠A=115°,∠D=100°.你能不能求出另外两个角的度数.

生:观察、思考、计算,∠B=65°,∠C=80°.

师:你能说明其中的理由吗?

生:两直线平行,同旁内角互补.

师:很好,这是我们以前探究过的平行线性质,平行线还有哪些性质呢?

生:1.两直线平行,同位角相等;2.两直线平行,内错角相等.

2.新课引入.

师:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.

二、探索新知

1.证明:两直线平行,同位角相等.

(1)引导学生画出两条平行线(说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截,并标出同位角,如图所示:

(2)用几何语言描述这样的证明题.

已知:直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.求证∠1=∠2.

(3)尝试证明.

思考:如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?(提示学生可以用反证法,假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明

假设不成立,从而得证.)

提问:如果∠1≠∠2,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1',有∠1'=∠2呢?(有)

如果有,是否意味着这条直线和CD平行?(是的,同位角相等,两直线平行)

这条直线可以是任意一条,也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)画这样的一条直线,此时我们发现过M点有两条直线与CD平行,这可能吗?(不可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)

这样看来假设不能成立,说明什么?(∠1=∠2)

(4)学生根据讨论、交流,板书证明过程.

证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.

根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.

又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.

这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.

这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.

2.证明:两直线平行,内错角相等.

(1)已知:如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.

求证:∠1=∠2.

(2)尝试证明.

提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证.

板书证明过程:

证明:∵l1∥l2(已知),

∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).

又∠2=∠3(对顶角相等),

∴∠1=∠2(等量代换).

3.证明:两直线平行,同旁内角互补.

学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正.

4.师:请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?请大家填写下面的表格,加以对比.

平行线

的性质

判定平行

的判定

条件

结论

生填表,并讨论.

平行线

的性质

条件

两直线平行

两直线平行

结论

同位角相等

内错角相等

两直线平行

同位角相等

判定平行

内错角相等

的判定

同旁内角互补

同旁内角互补

两直线平行

两直线平行

两直线平行

师生共同总结:

两直线平行

判定:角的关系⇒线的关系

性质:线的关系⇒角的关系

5.思考:完成一个命题的证明,需要哪些主要环节?

(1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略);

(2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;

(3)经过分析,找出已知得出求证的途径,写出证明过程;

(4)检查证明过程是否正确完善.

三、解决问题

师:学会了平行线的性质,我们就利用性质解决一些问题.(投影出示)

1.如图,AB∥CD,AC∥BD.分别找出与∠1相等或互补的角.

生:画图,找出所有与∠1相等或互补的角.与∠1相等的角有7个,与∠1互补的角有8个,用性质说明它们相等或互补的理由.

第1题图

第2题图

2.如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次拐的角∠B是130°,第二次拐的角∠C是多少度?

生:方向相同说明两条直线平行,根据两直线平行,内错角相等可得,∠C=∠B=130°.

四、例题讲解

【例1】已知:如图,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证b∥c.

【答案】∵b∥a(已知),

∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).

∵c∥a(已知),

∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等).

∴∠2=∠3(等量代换).

∴b∥c(同位角相等,两直线平行).

例1题图

例2题图

【例2】如图,梯子的各条横档互相平行,∠1=100°.求∠2的度数.

【答案】已知AB∥CD,根据“两直线平行,同位角相等”,得∠3=∠1=100°.由平角的意义,得∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-∠3=180°-100°=80°.

【例3】如图,已知∠1=∠2,若直线b⊥m,则直线a⊥m.请说明理由.

【答案】如图,已知∠1=∠2,根据“同位角相等,两直线平行”,得a∥b.

由a∥b,再根据“两直线平行,同位角相等”,得∠3=∠4.

又已知b⊥m,根据垂直的意义,得∠4=90°,

∴∠3=90°,

∴a⊥m.

例3题图

例4题图

【例4】如图,已知AB∥CD,AD∥BC.判断∠1与∠2是否相等,并说明理由.

【答案】∠1=∠2.理由如下:

已知AB∥CD,根据“两直线平行,同旁内角互补”,得∠1+∠BAD=180°.

同理,可得∠BAD+∠2=180°,

∴∠1=∠2.

【例5】如图,已知∠ABC+∠C=180°,BD平分∠ABC.∠CBD与∠D相等吗?请说明理由.

【答案】∠CBD=∠D.理由如下:

∵∠ABC+∠C=180°,

根据“同旁内角互补,两直线平行”,

得AB∥CD.

再根据“两直线平行,内错角相等”,

得∠D=∠ABD.

∵BD平分∠ABC,

∴∠CBD=∠ABD.

∴∠CBD=∠D.

五、课堂小结

这节课我们学习了哪些内容?你有什么收获?