5 应用二元一次方程组—里程碑上的数优质课教案推荐

第五章

二元一次方程组

5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数

广南县珠街镇初级中学

张仁德

教学过程设计

本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：练习提高；第四环节：合作学习；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业。

第一环节

知识回顾

１．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为：１０b＋a.

若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 2．一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．

3．有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ．

设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫。

实际效果：提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题。

第二环节

情境引入

1．情景展示。

小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？

１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；

１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；

１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．

分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么

时刻

１２：００

１３：００

１４：００

百位数字

x 十位数字

x

y

0 个位数字

y

x

y 表达式

10x+y

10y+x

100x+y 相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.

２．路程差：

１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），

１３：００－１４：００：

（１００x＋y）－（

１０y＋x），

路程差相等：

（１０y＋x）－（１０x＋y）＝

（１００x＋y）－（

１０y＋x）.

根据以上分析，得方程组

x＋y＝７

，

（１０y＋x）－（１０x＋y）＝

（１００x＋y）－（

１０y＋x）. 解方程组

x＋y＝７，

（１０y＋x）－（１０x＋y）＝

（１００x＋y）－（

１０y＋x）. 整理得

x＋y＝７，

x = 1

，

y＝６x.

解得

y =6.

因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．

提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程。

2．学法小结：

（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．

（２）借助方程组解决实际问题．

设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯。

实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表分析，在老师的引导下列出方程组。

3．变式训练

师生共同研究下题：

有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．

分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：

原数

新数

百位数字

x

y

十位数字

个位数字

表达式

100 x

+ y

10 y + x

y

x

相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数

２．９百位数字＝两位数－３

解：

设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，

根据题意的得：

１００x＋y＝１０y＋x，

９x＝y－３.

解得

x＝４，

y＝3９.

答：原来的三位数是４３９．

设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。

实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太

好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。

第三环节

练习提高

1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。

分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么

时刻

７：００

８：００

９：００

十位数字

个位数字

表达式

１０x＋y

１０y＋x

８（１０x＋y）

x

y

y

x

2．选一选

小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路

，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？

Ａ．1.2，3.6；

Ｂ．1.8，3；

Ｃ．1.6，3.2．

分析：本题间接设未知数更简洁. 解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：

6x+12y=4.8 ，

x＋y＝0.5. 解之得

x＝0.2，

y＝0.3. 0.261.2,0.3123.6

选Ａ。

3．列方程

CIN公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？

分析：设第二季度的进口额为x万元，出口额为y万元：

一季度

二季度

进口额

出口额

进出口总额

xy980

139%141%140%x

y

９８０

xy980+=，

139%141%140%x + y =980. 若设第一季度的进口额为x万元，出口额为y万元，则：

一季度

二季度

进口额

x

（１＋３９％）

x

y

出口额

进出口总额

９８０÷（１＋４０％）

９８０

（１＋４１％） y

x＋y＝

９８０÷（１＋４０％）， （１＋３９％）x＋（１＋４１％）y＝９８０. 根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予补充。

第四环节

合作学习

现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．

x＋y＝２，

５x－y＝１０. 学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报。（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）

第五环节

学习反思：

１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．

２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：

分析

求解

问题

方程（组）

解答

抽象

检验

３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．

设计意图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想。

第六环节

布置作业

1、 有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．

分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x

填写下表并完成整个

百位数字

十位数字

个位数字

表达式

问题. 原数

x

y

新数

y

x

2、

一个两位数，个位上的数与十位上的数的和为9，当把两个数字对调后得到的新两位数比原两位数小27，求原两位数。

3、

一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

4、甲、乙两地相距360km，

一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18h，逆水行船用24h，求船在静水中的速度和水流速度分别为多少?（只设未知数、列方程组，不解方程组）

四、教学反思

1．突破难点的策略

列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法。本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择，这样可以培养学生多种思维方式，突破难点. 2．关注数学思想方法的揭示

数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法（如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题经验。