2.2.3 两条直线的位置关系教案和学案内容

2.2.3

两条直线平行与垂直的判定

一、教材分析

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明. 二、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. 3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点

教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）. 四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）两条直线平行的条件

思考1：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k2，当l 1 // l 2时，k1与k2满足什么关系？

探究：l1//l212tan1tan2k1k2。

结论：两条不重合的直线l1//l2k1k2（斜率存在）。

[点睛]

(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.

思考2：（1）若l1∥l2，则一定有k1＝k2 吗？

答案：

不一定，当直线l1与l2是两条不重合的直线时，若斜率存在，则一定有k1＝k2

。若斜率不存在，虽然l1∥l2则k1，k2

不存在。

（2）若k1＝k2，则一定有l1∥l2？

答案：

不一定，若k1＝k2 ，则直线l1与l2平行或者重合。（此时斜率k都是存在的）。

设计意图：让学生明白当＝k2 吗？启发学生区别二者。

l1∥l2，则一定有k1＝k2 或者当l1∥l2，则一定有k1应用举例：

例1、已知A (2，3)，B (- 4，0)，P (- 3，1)，Q (– 1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。

分析：作出图像如下，猜想BA // PQ：

由斜率公式可得：kBAkPQ1，所以直线BA // PQ。

2设计意图：直接让学生运用刚学习l1//l212tan1tan2k1k2

的知识解题，已达到学以致用的效果。

思考3：（1）如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？

答案

α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和.

（2）已知tan(90°＋α)＝-1，据此，如何推出两直线的斜率k1、k2之间的关系？

tan答案

因为α2＝90°＋α1，

所以tan α2＝tan(90°＋α1)，

11由于tan(90°＋α)＝－tan α，tan α2＝－tan α，1

即tan α2tan α1＝－1，所以k1·k2＝－1. 思考4：（1）如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？

答案：

当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2. （2）如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？

答案：

当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，

因为可能一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，所以k1·k2＝－1不成立. 例2、已知A (5，– 1)，B (1，1)，C (2，3)，试判断三角形ABC的形状。

分析：作出图形如下，猜想三角形ABC为直角三角形：

1kAB,kBC2,kABkBC1ABBC2

[解]

设直线

l1的斜率k1，则k1＝2－aa－4

设直线l2的斜率为k2，则k2＝

(1)若l1∥l2，则k1＝k2。

即 2－a2－a＋2a＝－

31－－2a＝－.解得a＝1或a＝6. 3a－4经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2. 1①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；

2②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝2－aa－42－aa－4.

由k1k2＝－1可得a－＝－1，解得a＝3或a＝－4. ·3∴经检验，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.

课堂练习：

1.试确定m的值，使过点A(m,1),B(-1,m)的直线L1与过点P（1,2），Q（-5,0）的直线L2：

（1）若l1∥l2，；求m的值。

（2）若

l1⊥l2

；求m的值。

2.判断下列各对直线平行还是垂直：

（1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为1的直线l2；

（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点

M（1，-4）且斜率为-5的直线l4. 答案：（1）平行；（2）垂直. 课堂小结：

通过本节学习，要求大家：

1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行. 2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直. 3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力. 4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.

布置作业：

课本89页：习题3.1

A组

第6、7、8题。

教学反思：本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.