2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率优质教案设计

直线的参数方程

南县一中

何灿美

教学目标：

1. 联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯．

教学重点：联系向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：参数t的几何意义的推导与理解. 教学过程：

预备知识

1.已知直线经过点M0(x0,y0)

，倾斜角为(2)的直线方程为yy0tan(xx0)

2.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得ab.

3.直线l的方向向量是指与直线l平行的非零向量

4.单位向量：长度为1的向量. 5.倾斜角为α的直线的单位方向向量为：e(cos,sin)

探究一：建立直线的参数方程

已知直线l上一点M0(x0,y0)，直线l的倾斜角为，直线上的的动点M(x,y)，设e为直线l的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同），那么我们能写出直线的参数方程吗？

1

探究过程：M0M(xx0,yy0),e(cos,sin)

M0M//e，所以存在实数tR，使M0Mte即(xx0,yy0)t(cos,sin)

xx0tcos,yy0tsin

直线的标准参数方程为xx0tcos(t为参数)

yy0tsin思考：（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？

（2）参数t的取值范围是什么？

（3）（3）该参数方程形式上有什么特点？

当堂检测：

1.写出下列直线的倾斜角

x2tcos20x2tsin20(2)(t为参数)(1)(t为参数)y4tcos20y4tsin20

2.(1)求过点(1,1),倾斜角为135o的直线的参数方程. (2)求过(-3,2),倾斜角为5的直线的参数方程.

6探究二：直线参数方程参数的几何意义

由M0Mte，你能得到直线l的参数方程意义吗？

探究过程：M0Mte，

|M0M||te||t|

xx0tcos（t为参数）中参数t的几何yy0tsin参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0(x0,y0)的距离.

2

若t0,则M0M方向向上；若t0,则M0M方向向下；若t0,则点M与M0重合；

例题讲练：

例1：已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

思考：（1）如何写出直线l的参数方程呢？

（2）如何写出交点A,B所对应的参数t1, t2呢？

（3）| MA|, | MB|与t1, t2有什么关系？

（4）怎样求线段|AB|的长？

解析：直线l过定点M(1,2)且倾斜角为3，所以它的参数方程为42x1t2(t为参数)，

把它代入抛物线的方程，得t22t20

y22t2

t1210210，

t2

22由参数的几何意义得：

|AB||t1t2|10，

|MA||MB|t1t22

课堂练习：

1x2t5已知抛物线C:y28x的焦点为F，直线l的参数方程为(t为参数)

y2t5且与抛物线交于A, B两点. (1)求|AB|；

（2）求AB的中点M的坐标及|FM|.

课堂小结：

3

1、直线参数方程的标准式

2、直线参数方程的应用

课后作业：

1.经过点M(1，5)且倾斜角为参数方程是( ) 1111x1tx1tx1tx1t2222A. B. C.  D. 

3333y5y5y5y5tttt2222x22tt为参数上与点P2，2、直线3距离等于2的点的坐标是 . y32t的直线，以定点M到动

点P的位移t为参数的3xtcosx42cos3、直线与圆相切，则______ ytsiny2sin4、经过点P(−1，2)，倾斜角为

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的直线

l与圆

x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PAPBPA +PB和PAPB的值。

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