2.4.1 空间直角坐标系教学设计内容推荐

空间直角坐标系

【情景导入】

师：（手中拿一飞机）如何描述我手中飞机在教室中的位置。

【引导】

师:通过我们对直角坐标系的学习和应用，我们知道在平面上要确定一点的位置，只需要知道该点在相应坐标中的橫、纵坐标，即由一组有序实数对（x,y）即可确定。那么在空间中要确定一点的位置显然由一组有序实数对（x,y）是不可能确定这点的位置的，例如用我站在教室中距前墙和左墙的距离来描述我手中小球在教室中的位置，但是我们知道满足条件的点有无数多个，都在经过我所站立的点且垂直于地面的直线上，还应加什么条件限制才能准确确定球的位置呢？

生：在确定我站在教室中距前墙和左墙的距离的基础上，还应加小球离地面的距离。

师：很好，只有这样我们才能准确描述出小球的位置，也就是说为了表示空间一点的位置，只用两个数字是不够的，而应需要三个数字，再如为了确定一架正在飞行的飞机的位置，我们不仅需要经度和纬度，还需要确定它距离地面的高度，这就是这一节我们将要学习的:21世纪教育网

书写课题：空间直角坐标系

（新知探究）

【引导】

师：为了确定空间点的位置，我们在直角坐标系x0y中，通过原点O，再作一条数轴Z，使它与x轴、y轴垂直，这样它们中的任意两条互相垂直，这样我们称就建立了一个空间直角坐标系。

（多媒体投影）

空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。

坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。

右手直角坐标系----在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

如图所示：

Ⅲzyoz面Ⅳzox面Ⅱxoy面ⅦⅧoyⅥⅤⅠx空间直角坐标系共有八个卦限

【师生互动】

师：观察上图，建立了空间直角坐标系后，得到了三个平面xOy平面、yOz平面、zOx平面，同学们结合我们学习的立体几何的知识，这三个平面将空间分成了几部分？

生：观察图形，并进行空间想象。

师：巡视指导，让学生发挥自已的空间想象能力。

生：答

【点拔】

师：可结合教具和学生分析出分成各个部分的位置。三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分我们称之为一个卦限。

师：下面我们研究如何确定空间一点的坐标。

（多媒体投影）设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；反过来，给定有序实数组(x, y, z)，可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R点各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定的点M。

如图

【师生互动】

师：通过空间一点坐标的定义可以看出，对于空间任意一点一定有唯一确定的一组有序实数对

(x, y, z)和它对应，和直角坐标系一样，我们思考一下有序实数组(x, y, z)是否和空间一点建立了一一对应关系？即反过来给定一组有序实数组(x, y, z)是否对应空间中唯一一点呢？

生：思考并与同桌讨论。

师：巡视指导，可能有的同学主观上认为是正确的，应引导学生不要主观臆断，让事实说话，

即根据定义按照刚才作图的相反顺序具体做图是否确定唯一一点。

【点拔】

师：在坐标轴上分别作出点Px、Py、、、Pz.使它们在X轴、Y轴、Z轴上的坐标分别是x、y、z。再分别通过这些点作平面平行于平面YOZ、XOZ、XOY，由于这三个平面只有一个交点。这样我们就在空间任意一点与三个实数的有有序实数组(x, y, z)（点的坐标）之间，建立起了21世纪教育网21世纪教育网一一对应的关系：Px,y,z。21世纪教育网

师：下面我们通过具体题目来巩固我们所学知识。

（多媒体投影）

例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB =14，AD =6，AA1 =10 以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA1分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标。

师：请同学们根据空间中点的坐标的定义完成题目。

学生解完并回答：

（师生互动）

师：讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建

立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？

生：

师：这说明不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。通过练习同学们思考在三个坐标轴上的点及三个坐标平面上的点的坐标有何特点？

生：作图并思考

师：巡视指导，这些点都是特殊点，其目的在于在找出这些特殊点的过程中，要善于发现它们的规律。

【点拔】（多媒体投影）

师：在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。

（多媒体投影）

例2已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

【引导】

师：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的性质，建立适当的空间直角坐标系。

生：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为223。

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，223)。

【点拔】

师：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标

（多媒体投影）

求点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标。

【引导】

师：根据对称的定义求解。

生：设点P关于坐标平面xOy的对称点为P，连PP交坐标平面xOy于Q，

则PP坐标平面xOy，且|PQ|=|PQ|，

∴P在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，

P在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，

∴P与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，

21世纪教育网

∴点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2，-3)。

【点拔】（多媒体投影）

对称问题，常用对称的定义求解。一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z)。

迁移应用：（多媒体投影）

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=12，AD=8，AA1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

学生运算并回答：

以A为原点，射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、A1(0,0，5)、B1(12,0，5)、C1(12,8，5)、D1(0,8，5)。

（多媒体投影）

2．在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,

4)。

【引导】

师：点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点M1，过点M1过作与YOZ平行的平面，再在Y轴上作出横坐标是－2的点M2，过点M2作与平面XOZ平行的平面，同理过Z轴上横坐标是4的点M3作与平面XOY平行的平面，那么三个平面的交点即为所求点M。

生：解答

（多媒体投影）

M点的位置如图所示。

【点拔】

师：也就是作点P在坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，它们的垂足分别为Px、Py、、、Pz，所以点P在空间坐标为点P在坐标轴上的投影在这些坐标轴上的坐标。

（多媒体投影）

求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。

解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。

【知能总结】

（学生总结教师点评）

本节课学习的主要内容有（多媒体投影）

（1）

空间直角坐标系的产生

（2）

空间直角坐标系的定义及空间中点的坐标和点的对应关系

（3）

空间直角坐标系的应用。

教学思想与方法

培养学生运用类比、交换、数形结合等数学思想方法，培养学生的思想品质。同时锻炼学生的空间思维能力。

作业：

附一板书设计：

课题：空间直角坐标系

一：空间直角坐标系定义。

附二教学札记：在研究过程中，我充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养学生的思想品质。同时也锻炼了他们的空间思维能力。本节课主要采用了启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动。首先，为了使学生比较顺利地从平面到空间的变化，即从二维向量到三维向量的变化，我采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一转化，同时也引起了学生的兴趣。然后，从与平面直角坐标系内点的坐标是借助一个长方形得到的过程，使学生顺理成章地想到空间点的坐标可能是通过借助长方体得到的，让学生亲手实践后，证实了这一结论，增强了学生学习的信心。此后，马上将书上的例1作为学生的口答练习，（一般学生都能回答正确）然后，及时提出问通过空间一点P作平行于坐标平面的平面与坐标轴的交点：Px、Py、、、Pz，其实质过程题；如果改变坐标系的确定方法，点的坐标会发生什么变化？经过思考，学生一般也能回答正确，同时，又让学生明确了：坐标系建立的不同，得到的点的坐标也不同。再让学生练习正四棱锥、正三棱锥的空间直角坐标系的建立方法以及根据不同的坐标系，求出各顶点的坐标。

在整个教学过程中，内容由浅入深、环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦，对于增强学生的学习信心，起到了很好的作用。

二：空间直角坐标系应用

三．小结

1．

2．

3．

作业：