3.三个正数的算术-几何平均不等式教学创新设计

三个正数的算术-几何平均不等式

教学目标：

1、要求学生熟悉三个正数的算术-几何平均不等式，从而熟练地处理一些最值问题。

2、通过学生对问题的探索、研究、归纳，总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取等号的条件。

3、在分析具体问题特点的过程中通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练、分析问题和解决问题的能力，培养学生转化的数学思想．

教学重点：

利用三个正数的算术-几何平均不等式处理一些函数最值及解决有关的应用问题。

教学难点：

如何凑成三个数的和或积是定值。

教学方法：

启导法、讲练结合法、题组教学法

教学过程：

一

、新课引入

对于某个给出的函数，要问这个函数在指定的区间上有无最值及如何求出是我们经常遇到的数学问题。解决这类问题在初等数学的范围内并没有通用的方法，只能解决一些特殊函数的最值问题。我们在学习中要不断总结一些常用的方法。这节课我们主要学习利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值。

二、学习新知

定理3：若a,b,c0，则abc3abc，当且仅当abc时，取“=”3号；即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

证明：类比基本不等式的推出过程，先证明

已知a,b,cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc，等号成立。

证明：因为

a3b3c33abc

(ab)33a2b3ab2c33abc

1

(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab]

(abc)[a2b2c2acbcab]

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]0

2所以a3b3c33abc

当且仅当abc，等号成立

如果用3a,3b,3c分别代替a,b,c，可得到什么结果? a,b,c0，则abc3abc，当且仅当abc时，取“=”号

3推广：n个正数a1,a2,即a1a2nanna1a2an，则它们的算术平均不小于它们的几何平均，an时，取“=”号；

an，当且仅当a1a2变换命题：已知x,y,z都是正数，求证：

1

如果积xyz是定值p，那么当xyz时和xyz有最小值33p

2

如果和xyz是定值s，那么当xyz时积xyz有最大值xyz3xyz

3xyz3p ∴xyz33p

1当xyzp (定值)时，313s

27证：∵x,y,zR ∴

∵上式当xyz时取“=” ∴当xyz时有(xyz)min33p

2当xyzs (定值)时，3xyzs13s

∴xyz327∵上式当xyz时取“=” ∴当xyz时有(xyz)max13s

27小结：已知三个正变数的积是一个常数．那么当且仅当这三个数相等时，它们的和取最小值。

已知三个正变数的和是一个常数．那么当且仅当这三个数相等时，它们的积取最大值。

2

强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

2用三个正数的算术-几何平均不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等时取得最值。即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”。

三、定理应用

3例1．求函数y2x2,(x0)的最小值，下列解法是否正确？为什么？

x解一：

y2x2∴ymin334

312122x2332x2334

xxxxx33312223解二：y2x22x26x当2x即x时

x2xx23 ymin26122331226324

212；解二错在xx分析：利用均值定理求最值关键在于构造“定和”或“定积”。以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x使得2x226x不是定值（常数），显然x越大时，26x也越大，故y无最小值。

正确的解法是：y2x233333932x2332x233336

x2x2x2x2x223336当且仅当2x即x时ymin336

2x222本题小结：1、用均值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”。若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法。

2、求几项和的最值时，如果这几项中有整式，也有分式，且其乘积的分子或分母中至少有一仍带变量，则可分拆整式或分式中次数较低的正变量才能保证各项积为常数。

例2．求下列函数的最值

①求函数yx2(1x)的最大值(0x1) 3

②求函数yx(1x2)的最大值(0x1)

解：①∵0x1 ∴1x0 xx1xxx4

y4(1x)4(22)322327x24∴当1x即x时ymax

2327②∵0x1 ∴01x21 ∴y2x2(1x2)212x2(1x2)(1x2)

212x2(1x2)(1x2)34[]

2327 ∴当2x21x2,x4323时y2max ymax

2739 本题小结：函数式中含变数的各项之和或之积必须是常数(定值)才能利用“定理”求出函数的最大值或最小值。若含变数的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须作适当的变形，化为各项之和或之积是常数，方可使用“定理”求出函数的最大值或最小值．通过利用三个正数的算术-几何平均不等式解决具体问题，启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解，体现了转化的数学思想。（数学思想方法的提炼）

四、解决应用问题

例3：将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

分析引导：解应用题首先要认真审题，认清问题的已知条件，需求解的对象，各种量之间的相互联系，紧紧抓住变量之间的关系，分析各种制约条件，然后建立恰当的数学模型。将实际问题转化成数学问题，如函数、方程、不等式等数学问题，再用已学过的数学知识解决这个数学问题，最后回到实际问题。

解：设剪去的小正方形的边长为x

a则其容积为Vx(a2x)2,(0x)

24

V14x(a2x)(a2x)

414x(a2x)(a2x)32a3[]

4327当且仅当4xa2x即xa时取“=”

6a2a3即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为

627本题小结：用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行：

(留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤。) (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案。

五、回顾小结

本节课我们用三个正数的算术-几何平均不等式顺利解决了函数的一些最值问题。在解决问题时，重点从以下三个方面加以考虑：一是三个正数的算术-几何平均不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立。

六、作业

41．求函数y2x2,(xR)的最值： (ymin=6) x2．制作一个容积为16m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和

高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R2m,h4m)

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