复习参考题教学设计第一课时

“三阶四环”高中

文科数学

学科教学设计

编号：必修三第二章和选修1-2第一章

编制：高2019届高三梁林芳

教学设计分析

让学生了解课标学习要求，做到心中有数，学习针对性强，效率课

题

：

回归分析

课

型：复习课

适用班级：文科普通班

【课标要求】

1.了解相关关系、线性相关，会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识两个变量之间的相关关系．

2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程．

3．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

4.会用转化化归的思想将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题来解决问题。

高。

【考点及考查角度】

考点1 相关关系的判断

考点2 线性回归分析

考点3 非线性回归分析

老师和学生都要知道考点，有的放矢。

【导学流程】



浅层加工

一、

预习自测

（一）基础知识

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种

非确定性

关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称

文科学生对公式、定理、概念不清楚，如果课为

正相关

，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为

负相关

堂马上填写，有2．两个变量的线性相关

回归

直线

相当一部分学生从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的

一条直线

不能消化吸收从附近，称两个变量之间具有

线性相关关系

，这条直线叫做回归直线。

而影响听课的效率。课前预习完ii回归

方程

^^^^回归方程为y＝bx＋a中b＝(xi1nnix)(yiy)=ixyi1nnnxynx2(xi1x)22i^－^－，

a＝

y－bx

习巩固基础知识和简单的基础知识的应用，为课堂听课效率奠定良好的基石。课成预习自测，复xi1最小

二乘法

通过求Q(yi1nibxia)2最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的

1

点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法

当r＞0时，表明两个变量

正相关

；当r＜0时，表明两个变量

负相关

. 相关

系数

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性

越强

；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间

几乎不存在线性相关关系

．通常|r|大于0.75

时，认为两个变量有很强的线性相关性

^^^3、线性回归方程方程：y＝bx＋a的几点引申拓展思考

4、

堂上学生讲评答案，根据学生情况教师引导即可。

帮助学生深入理解回归方程。

基础知识自测帮助学生的预习不停留在表面，停留在简单的记忆层面，可以一定深度和广度上更好的理解基础知1).样本中心与回归直线的关系___回归直线一定过样本中心(x,y)__ ˆ是回归方程的

斜率

，aˆ是在y轴上的

截距

. 2).bˆ，bˆ>0表示___正相关__,bˆ<0表示__负相关____. 3).回归方程中bˆ表示x增加一个单位,__y增加或减少的单位数_____________. 4).b

(二）、基础知识自测

1．判断题

(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(

) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(

) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(

) ^(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

2.观察下列各图：

其中两个变量x，y具有相关关系的图是(

C

) A．①②

B．①④

C．③④

D．②③

3．填空题

(1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，大小关系为_r2

模型

模型1

2

识，为提高课堂听课效率奠定良好的基石。学生说答案，并说明原因。老师适当点拨。

模型2

模型3

模型4

(2)两个变量y与x的回归模型中，r 0.98

0.80

0.50

0.25

分别选择了4个不同模型，经计算得到它们的相关系数r的值如表所示，其中拟合效果最好的模型是___1_____. 1010

^^(3)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为y＝－3＋bx，若xi＝17，yi＝4，

i＝1i＝1

^则b的值为____2____．

(4)经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得^到y关于x的回归直线方程：y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____0.245____万元．

三、我的疑问

课堂上先老师说明高考信息，后



第一阶段：深度建构（考点突破）——问题探究

以选择题、填空题考查本章的基本概念、定义、公式，考的少。考查散点图判断两个变量的相关关系和线性回归方程为主，重点考查线性回归方程的求及应用。此类题难度不大,但学生对题意理解和给出公式的准确理解出错，计算出错导致出错。线性回归方程的求解和应用热点题型，以解答题形式考.每年高考全国卷文科中至少有一套试卷会考到解答题。

考点1 相关关系的判断

相关关系的是(

D

)

给学生几分钟做，然后在学生讲评。通过问题1的探究让学生获悉相关关系的判断方法，并能根据例题小结出方法，培养学生应用知识的数学能力。

[问题1]

(1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性(2)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用回^归直线方程y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是(

D

) A．线性相关关系较强，b的值为1.25

B．线性相关关系较强，b的值为0.83 C．线性相关关系较强，b的值为－0.87

D．线性相关关系较弱，无研究价值

(3)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(C) A．x与y正相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关

D．x与y负相关，x与z正相关

[解题反思]判断相关关系的两种方法

(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强．

3

考点2 线性回归分析

[问题2]

(2018·江西五市部分学校联考)某品牌2018款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据：

4S店

单价

x/万元

销量

y/辆

88

78

85

75

82

66

82

78

80

76 18.0

甲

18.6

18.2

乙

18.8

18.4

丙

19.0

18.3

丁

18.5

18.5

戊

18.7

通过问题2的探究让学生熟悉线性回归方程的求解可以分两大组比赛计算b值，体会两个公式何时用好，以及在此基础上和最值^(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程y^^＝bx＋a；

(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/问题相结合的简辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)? 单应用.先让学生尝试求解，在ii^附：b＝(xi1nnix)(yiy)ixyi1nnnxynx2(xi1x)22i^－^－，a＝y－bx. 解后完成解题反思中的，培养学生审题能力，解问题的数学素养。

xi1[解题反思]

1．回归直线方程中系数的两种求法

^^－－(1)公式法：利用公式，求出回归系数b，a.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x，y)求系数．

2．回归分析的两种策略

(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，把自变量代入求函数值．此值不是准确值

^(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.

3.（*）用公式求回归直线方程的步骤

考点3 非线性回归分析

[问题3]

某地区不同身高的未成年女性的体重平均值如下表：

试建立y与x的回归方程．

[解]散点图，如图．

身高

x/cm

体重

y/kg

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

4

由上图可看出，图象近似一个指数函数类型的图象，于是设y＝aebx(a>0)．作变换z＝ln y，通过问题3的探究让学生把非线^c＝ln a，得线性函数z＝c＋bx，所以z与x的回归直线方程为z＝0.663＋0.020x，所以y^＋与x的回归方程为y＝e0.6630.020x. [解题反思]

1.对于非线性化的回归分析问题，解题步骤：

1）画出已知数据的散点图

2）选择跟散点拟合得最好的函数模型

3）变量代换(非线性回归问题转化为线性回归问题) 4）求出代换后的回归直线方程(即得所要求的非线性的回归方程)．

2.常见的曲线方程: 性回归分析转化为线性回归分析，并在解题后能归纳出解题步骤，最后让生阅读常见的曲线方程和易错提醒。一方面培养学生数形结合思想的应用能力，另外也培养学生应用转化化归的思想方法把未知的问题或没有解决过的问题转化为能3...易错提醒

^^^(2)回归直线方程y＝bx＋a必过样本点中心(x，y)．

解决或已经解决了的问题的数学素养。

根据考点设计对应的练习反馈，^，a^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(1)正确理解计算b(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．



第二阶段：自我提升（A练习反馈

B真题鉴赏）

A练习反馈

1.[考点一]两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(

D

) A．①②③ B．②③①

C．②①③ D．①③②

2．[考点二](2018·湖南湘中名校联考)根据如下^样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，若a＝5.4，则x每增加1个单位，y就(

B

) A.增加0.9个单位

B．减少0.9个单位

C．增加1个单位

D．减少1个单位

3．[考点三]若一函数模型为y＝sin2

α＋2sin α＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需1sin α＋2

D．以上都不对

作变换t＝(

B

)A．sin2

α

B．(sin α＋1)2

C.2

5

x y 3

4

4

2.5

5

－0.5

6

0.5

7 －2 提供老师掌握学生学习效果的检测和学生自己学习效果的反馈，为查漏补缺提供依据。

4.[考点一]四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

^^①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；

^^③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(

D

)A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

5.[考点二]五名推销与年推销金推销员

工作年限x(年)

年推销金额y(万元)

A 2

3

B 3

3.5

C 5

4

D 7

6.5

E

8 8

调查某公司的员，其工作年限额如下表：

(1)在图中画出年推销金额关于工作年限的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；

(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回归直线方程；

(3)利用(2)中的回归方程，预测工作年限为10年的推销员的年推销金额．

n^附：b＝i＝1

xi－xyi－y－

xi－x2n－－^^^－，a＝y－bx. i＝125235^21答案：方程为y＝x＋.预测工作年限为10年的推销员的年推销金额为万元．

262626B真题鉴赏

1．(2016·全国卷3)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

777

真题鉴赏，让师生对高考如何参考数据：y

i＝9.32，t

i yi＝40.17, i＝1i＝1ni＝1

yi－y＝0.55，7≈2.646. 2i＝1

ti－tyi－ynn参考公式：相关系数r＝，

考？考什么？考到何种程度？等等做到心中有数，让学生巩固已经复习的知识和解决问题的思想方法，也起到i＝1

ti－t2

yi－y2i＝1

6

n^^^^回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝i＝1

ti－tyi－yn查漏补缺的作用。

^，a＝2i＝1

ti－t^y－b

t. 2.89答案：（1）r≈≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性0.55×2×2.646相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

(2)预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．

2．(2018·全国卷1）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,ˆ30.413.5t；根据2010年至2016年的数据（时,17）建立模型①：yˆ9917.5t．

,7）建立模型②：y

间变量t的值依次为1,2,（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

答案：（1）模型①为$．模型②为$．（2）②更可靠．

y=226.1（亿元）y=256.5（亿元）3.(2015·全国卷1)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

888228

x

y

w

i＝1 (xi－x)

i＝1 (wi－w)

i＝1 (xi－x)(yi－y)

i＝1 (wi－w)(yi－y)

108.8

46.6

563

6.8

8289.8

1.6

1 469

1表中wi＝xi，w＝w

i. 8i＝1(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．

7

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距n

^i＝1

ui－uvi－v^n^的最小二乘估计分别为β＝，α＝v－β

u.

i＝1

ui－u2答案：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜。

^(2）y关于x的回归方程为y＝100.6＋68x. ^(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6＋6849＝576.6，

^

年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32. ^②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12. ^13.6当x＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值46.24千元．

24．(2017·全国卷1)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

1

9.95

2

10.12

3

9.96

抽取次序

零件尺寸

9

10.26

10

9.91

11

10.13

12

10.02

13

9.22

14

10.04

15

10.05

16 9.95 4

9.96

5

10.01

6

9.92

7

9.98

8 10.04

116经计算得x＝xi＝9.97，s＝16i＝11616116

xi－x2＝16i＝11612x2i－16x16i＝1≈0.212,



i＝1

i－8.52≈18.439，

(xi－x)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺i＝1寸，i＝1,2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

8

总结反思帮助学生简单回顾本节所获。

②在(x－3s，x＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01) 附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数

i＝1

xi－xyi－y，0.008≈0.09. nr＝i＝1

xi－x2ni＝1

yi－y2n答案：(1)r≈－0.18.由于|r|＜0.25，尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

(2)①由于x＝9.97，s≈0.212，由第13个零件的尺寸在(x－3s，x＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．

②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(16×9.97－9.22)＝10.02，

151剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，

15标准差的估计值为0.008≈0.09.

（二）总结反思

1.本节主要的核心知识与典型方法有哪些？涉及的高中数学思想方法有哪些？

2.通过本节的学习您对哪些知识、方法已经掌握？哪些还存在疑难问题？问题如何解决？

3.哪些典型题可以收集在您的错题本上

9