复习参考题教案推荐

回归分析问题

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是：

其中第三步“选择函数模型去拟合样本点”是该部分知识的难点，限于难度及现阶段学习的需要，在学习时，我们重点把握线性回归模型的思想方法便可．

以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋面积x的数据：

房屋面积x(m2)

销售价格y(万元)

(1)画出数据对应的散点图；

115

248

110

216

80

184

135

292

105 220

(2)求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线；

(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．

【思路点拨】

画散点图―→求参数值―→写出回归方程―→画出回归直线―→估计销售价格．

【规范解答】

(1)数据对应的散点图如图所示：

15(2)x＝5xi＝109，

i＝1lxx＝

(xi－x)2＝1 570，

i＝15y＝232，lxy＝

(xi－x)(yi－y)＝3 080. i＝15^^^设所求回归直线方程为y＝bx＋a，

^＝lxy＝3 080≈1.962，

则bl1 570xx^＝y－b^x＝232－109×3 080≈18.166，

a1 570故所求线性回归方程为^y＝1.962x＋18.166. 回归直线如图所示．

(3)据(2)，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为

^y＝1.962×150＋18.166＝312.466(万元)．

假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：

x y 15.0

39.4

25.8

42.9

30.0

42.9

36.6

43.1

44.4 49.2 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；

(3)计算各组残差，并计算残差平方和；

(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？

【解】

(1)散点图如下．

(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．

设回归方程为^y＝^bx＋a^，x＝30.36，y＝43.5，

5x25i＝5 101.56，y2i＝9 511.43. i＝1i＝1x

y＝1 320.66，y2＝1 892.25，x2＝921.729 6，

5xiyi＝6 746.76. i＝15xiyi－5x

yi＝1由^b＝5≈0.29，

x2i－5x2i＝1^a＝y－b^x＝43.5－0.29×30.36≈34.70. 故所求的线性回归方程为^y＝34.70＋0.29x. 当x＝56.7时，^y＝34.70＋0.29×56.7＝51.143. 估计成熟期有效穗51.143. (3)由于y＝bx＋a＋e，

可以算得^ei＝yi－^yi分别为^e1＝0.35，

^e2＝0.718，^e3＝－0.5，^e4＝－2.214，^e5＝1.624，

残差平方和：

^ei2≈8.43. i＝158.43(4)可得：

(yi－y)＝50.18，∴R＝1－50.18≈0.832. i＝1522所以解释变量小麦基本苗数对有效穗约贡献了83.2%.残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.

独立性检验

独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K2的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系．

独立性检验的思想类似于数学上的反证法，在假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理．

对该部分知识的考查，常与必修三中的统计知识相结合，综合考查学生分析问题和解决问题的能力．

在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？

数学优秀

数学非优秀

物理

228

143

化学

225

156

总分

267 99 注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．

【思路点拨】

分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k的值．由观测值分析，得出结论．

【规范解答】

(1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

合计

物理优秀

物理非优秀

228

143

371

132

737

869

合计

360 880 1 240 a＝228，b＝132，c＝143，d＝737，

a＋b＝360，c＋d＝880，a＋c＝371，b＋d＝869，n＝1 240. nad－bc2代入公式K＝

a＋bb＋da＋cc＋d21 240×228×737－132×1432得k1＝≈270.114 3. 360×869×371×880(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

合计

化学优秀

化学非优秀

225

156

381

135

724

859

合计

360 880 1 240 a＝225，b＝135，c＝156，d＝724，

a＋b＝360，c＋d＝880，a＋c＝381，b＋d＝859，n＝1 240. 1 240×225×724－135×1562代入公式，得k2＝≈240.611 2. 360×880×381×859(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

合计

总分优秀

总分非优秀

267

99

366

93

781

874

合计

360 880 1 240 a＝267，b＝93，c＝99，d＝781，

a＋b＝360，c＋d＝880，a＋c＝366，b＋d＝874，n＝1 240. 1 240×267×781－93×992代入公式，得k3＝≈486.122 5. 360×880×366×874由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到K2的观测值k1、k2、k3的值都大于10.828，由此说明有99.9%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之．

为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，数据如表，试问吸烟量与年龄是否有关？

年龄

不超过40岁

吸烟量不多于20支/天

吸烟量多于20支/天

合计

超过40岁

50

10

60

合计

15

25

40

65 35 100 【解】

由以上数据，得K2的观测值为

nad－bc2k＝

a＋bc＋da＋cb＋d100×50×25－10×152＝≈22.16>10.828. 65×35×60×40所以我们有99.9%的把握认为年龄与吸烟量有关系.

回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．

某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：

x y 1

10.15

2

5.52

3

4.08

5

2.85

10

2.11

20

1.62

30

1.41

50

1.30

100

1.21

200 1.15 转化与化归思想在回归分析中的应用

1检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数x之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的回归方程．

1【思路点拨】

令z＝x，使问题转化为z与y的关系，然后用回归分析的方法，求z与y的回归方程，进而得出x与y的回归方程．

11【规范解答】

把x置换为z，则有z＝x，

从而z与y的数据为

z 1

0.5

0.333

0.2

0.1

0.05

0.033

0.02

0.01

0.005

y 10.15

5.52

4.08

2.85

2.11

1.62

1.41

1.30

1.21

1.15 可作出散点图，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．

1z＝10×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1，

1y＝10×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，

i＝1zi2＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052≈1.415，

1010i＝12222y2i＝10.15＋5.52＋…＋1.21＋1.15＝171.803，

i＝1ziyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15 10＝15.221 02，

^＝所以bi＝1ziyi－10z

yzi2－10z21010≈8.976，

i＝1^＝y－b^z＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，

a所以所求的z与y的回归方程为^y＝8.976z＋1.120. 18.976^又因为z＝x，所以y＝x＋1.120.

在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量. x/min

y/mg

1

39.8

2

32.2

3

25.4

4

20.3

5

16.2

6 13.3 (1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；

(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)．

【解】

(1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得

x y z 1

39.8

3.684

2

32.2

3.472

3

25.4

3.235

4

20.3

3.011

5

16.2

2.785

6 13.3 2.588 ^≈3.905 5，^≈－0.221 9，由公式得ab则线性回归方程为^z＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，

故c≈49.675，d≈0.801，

所以c、d的估计值分别为49.675,0.801. (2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．综合检测(一)

(时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是(

) A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③④

【解析】

曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．

【答案】

D 2．(2013·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了(

) A．直接求出回归直线方程

B．直接求出回归方程

C．根据经验选定回归方程的类型

D．估计回归方程的参数

【解析】

散点图的作用在于选择合适的函数模型．

【答案】

C 3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A、B两变量做回归分析，分别得到散

点图与残差平方和

(yi－^yi)2如下表：

i＝1n

散点图

甲

乙

丙

丁

残差

平方和

115

106

124

103

哪位同学的试验结果体现拟合A、B两变量关系的模型拟合精度高(

) A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

【解析】

根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R表达式中

(yi－y)2为确定i＝12n的数，则残差平方和越小，R2越接近于1)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．由试验结果知丁要好些．故选D. 【答案】

D 4．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

y1

a 8

b y2

21

25

46 总计

73 33

则表中a、b处的值分别为(

) A．94、96

C．52、60

【解析】

∵a＋21＝73，∴a＝52. 又b＝a＋8＝52＋8＝60. 【答案】

C 5．(2013·济南高二检测)在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是(

) B．52、50 D．54、52

A．y＝bx＋a＋e是一次函数

B．因变量y是由自变量x唯一确定的

C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生

D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生

【解析】

线性回归模型y＝bx＋a＋e，反映了变量x、y间的一种线性关系，预报变量y除受解释变量x影响外，还受其他因素的影响，用e来表示，故C正确．

【答案】

C 6．下列关于等高条形图的叙述正确的是(

) A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系

B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小

C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系

D．以上说法都不对

【解析】

在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错，在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．

【答案】

C 7．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得^y＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是(

) A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90% B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01% C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90% D．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为21.01% 【解析】

当x＝37时，^y＝20.90%，即对于年龄为37岁的人来说，大部分人的体内脂肪含量为20.90%. 【答案】

C 8．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直

线的方程是(

) A.^y＝1.23x＋4

C.^y＝1.23x＋0.08

【解析】

由题意可设回归直线方程为^y＝1.23x＋a，

又样本点的中心(4,5)在回归直线上，

故5＝1.23×4＋a，即a＝0.08，

故回归直线的方程为^y＝1.23x＋0.08. 【答案】

C 9．(2013·福州高二检测)工人月工资y(元)随劳动生产率x(千元)变化的回归方程为^y＝50＋80x，下列判断错误的是(

) A．劳动生产率为1 000元时，工资约为130元

B．劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元

C．劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元

D．当月工资约为210元时，劳动生产率为2 000元

【解析】

此回归方程的实际意义是劳动生产率为x(千元)时，工人月工资约为y(元)，其中x的系数80的代数意义是劳动生产率每提高1(千元)时，工人月工资约增加80(元)，故应选C. 【答案】

C 10．(2013·开封高二检测)两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若判断变量X和Y有关出错概率不超过25%，则c等于(

) A．3

【解析】

列2×2列联表如下：

y1

y2

总计

2B．^y＝1.23x＋5 D．^y＝0.08x＋1.23 B．4

C．5 D．6 x1

a c 10＋c x2

b d 21＋d 总计

31 35 66 66×[1035－c－21c]2故K的观测值k＝≥5.024. 31×35×10＋c56－c

故选项A、B、C、D代入验证可知选A. 【答案】

A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．关于随机变量K2的判断中，有以下几种说法：

①K2在任何问题中都可以用来检验两个变量有关还是无关；

②K2的值越大，两个分类变量的相关性就越大；

③K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，当K2的值很小时可以判定两个分类变量不相关．

其中说法正确的是________．

【解析】

K2只适用于2×2列联表问题，故①错误．K2只能判断两个分类变量相关，故②正确．可能性大小不能判断两个分类变量不相关的程度大小，故③错误．

【答案】

②

12．若由一个2×2列联表中的数据计算得k＝4.013，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为两个变量之间有关系．

【解析】

因随机变量k2的观测值k＝4.013>3.841，因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为两个变量之间有关系．

【答案】

0.05 13．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

男

女

理科

13

7

文科

10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝50×13×20－10×72≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性23×27×20×30为________．

【解析】

k≈4.844>3.81，故判断出错的概率为0.05. 【答案】

0.05

14．(2012·广东高考)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系. 时间x 命中率y 1

0.4

2

0.5

3

0.6

4

0.6

5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

51【解析】

平均命中率y＝×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而x＝3，

5i＝1(xi－x)(yi－y)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，^＝0.01，a^＝y－b^

x＝

(xi－x)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b5i＝10.47，∴^y＝0.01x＋0.47，令x＝6，得^y＝0.53. 【答案】

0.5

0.53 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2013·清远高二检测)在2008年北京奥运会上，游泳项目的世界记录在水立方屡屡被打破，充满了神奇色彩．据有些媒体的报道，这可能与运动员身上的新式泳衣有关系．为此有人进行了调查统计，对某游泳队的96名运动员的成绩进行了调查，其中使用新式泳衣成绩提高的有12人，没有提高的有36人；没有使用新式泳衣成绩提高的有8人，没有提高的有40人．请根据该游泳队的成绩判断：成绩提高与使用新式泳衣是否有关系？

【解】

根据给出的数据可以列出下列2×2列联表：

用新式泳衣

未用新式泳衣

总计

成绩提高

成绩没有提高

总计

12

8

20

36

40

76

48 48 96 296×12×40－36×8于是K2＝≈1.011，由于1.011＜3.841，所以我们没有48×48×20×76

理由认为成绩提高与使用新式泳衣有关系．

16．(本小题满分12分)某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示：

年份200x(年)

人口数y(十万)

(1)请画出上表数据的散点图；

^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程^y＝b^；

x＋a(3)据此估计2015年该城市人口总数．

(参考数值：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝0

5

1

7

2

8

3

11

4 19 ^＝30，公式bi＝1

xi－xyi－y

xi－x2nn) i＝1【解】

(1)

(2)x＝2，y＝10,0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30. ^＝bi＝1xiyi－n

x

y2x2i－nxnn^＝y－b^x＝3.6. ＝3.2，ai＝1故y关于x的线性回归方程为^y＝3.2x＋3.6. (3)当x＝15时，^y＝3.2×15＋3.6＝51.6(十万)．

据此估计2015年，该城市人口总数516万．

17．(本小题满分12分)为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：

天数x/天

繁殖个数y/个

1

6

2

12

3

25

4

49

5

95

6 190 (1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；

(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；

(3)计算相关指数．

【解】

(1)所作散点图如图所示．

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则

x z 1

1.79

2

2.48

3

3.22

4

3.89

5

4.55

6 5.25 由计算得：^z＝0.69x＋1.115，则有^y＝e0.69x＋1.115. (3)

^y

y n6.08

6

12.12

12

24.17

25

48.18

49

96.06

95

191.52 190 i＝1nn^^22

ei＝

(yi－yi)＝4.816 1，

(yi－y)2＝24 642.8，

i＝1i＝14.816 1R2＝1－24 642.8≈0.999 8，

即解释变量“天数”对预报变量“繁殖细菌个数”解释了99.98%. 18．(本小题满分14分)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B

后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积

频数

[60,65)

30

[65,70)

40

[70,75)

20

[75,80) 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积

频数

[60,65)

10

[65,70)

25

[70,75)

20

[75,80)

30

[80,85) 15 完成下面2×2列联表，能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”？

表3

70 mm

70 mm2

注射药物A 注射药物B 合计

【解】

列出2×2列联表

70 mm

70 mm2

注射药物A 注射药物B 合计

222疱疹面积小于

疱疹面积不小于

合计

a＝

c＝

b＝

d＝

n＝

疱疹面积小于

疱疹面积不小于

合计

a＝70

c＝35

105

b＝30

d＝65

95

100 100 n＝200 200×70×65－35×302K的观测值k＝≈24.56，

100×100×105×95由于k>10.828，所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．