探究与发现 组合数的两个性质课时教案

高中数学人教A版选修2-3 1.2.2 组合

《探究与发现》

组合数的两个性质

一、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握组合数的两个基本性质；

（2）结合组合数的定义及计算公式进行计算化简；

（3）掌握组合数的实际应用。

2、过程与方法

通过问题探究，对组合数的两个基本性质进行归纳猜想，然后启发学生对其解释证明，使学生对这两个性质深刻认识，然后通过进一步的练习，从而加深对性质的理解，最后通过几个思考题，使学生的思维进一步打开。

3、情感态度与价值观

通过本节课的学习，让学生体会到科学世界有很多未知的事物等待我们去探索，去发现，只要你细心观察，善于总结，就会发现世界的奥秘。

二、重难点

1、重点：组合数的定义，公式及两个基本性质

mmm12、难点：性质2 Cn的理解及应用，特别是公式逆用及变形应用。

1CnCn三、教学过程

（一）温故知新

上节课，我们学习了《组合》下面，我请同学回答以下几个问题：

1、什么叫组合？

一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2、什么叫组合数？

从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从nm个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示。

3、组合数公式有哪些形式？

mAnnn1n2...nm1

CmAmm!mnmCnn!

m!nm!0另外，我们规定Cn1

1

（二）探究新知

探究1.计算下列组合数的值

4831573C12;C12;C18;C18;C10;C10

通过计算，你发现了什么？

48;31573CCCC;CC1218181010

我们发现

12并且4812;31518;7310

我们可以归纳猜想一下，组合数的这种性质：

各组的两个组合数都相等，而且两个组合数的上标之和等于下标。

同学们，想一想，为什么组合数会有这种性质呢？

我们通过一个实际问题来解释一下这个性质。

问题：从12名学生中选出4人参加书法比赛，共有多少种不同的选法？

4答案很简单，C12495

这个问题可以换一种问法：

从12名学生中选出8人不能去参加书法比赛，共有多少种不同的选法？

8答案是C12495

这两个问题实质是相同的，因为选出4人必定留下8人，留下8人必定选出448

人，所以，C12C12归纳总结，得出

性质1

mnmCnCn

下面，请同学们对这个性质给出一个合理的解释：

在n个不同元素中取出m个元素等价于在n个元素中留下n-m个元素。

n0特别地，当m=n时，CnCn1

下面，我们来做几道练习题

1、在10名志愿者中选出8人参加高考服务工作，一共有多少种不同的选法？

82解：C10C1045

x52、解方程C15

C15解：根据组合数的性质

x5或x515

x5或x10

以上是我们对组合数的性质1进行了探索，接下来，我们再看另外一个问题：

2

探究2

现有一名老师和9名学生组成的爱心小分队，，若从中选出4人去敬老院义务劳动，一共有多少种选派方法？

方法1：分为老师参加和老师不参加两种情况，结果为

34C9C9210

因为题目中并未对老师有任何要求，即老师与学生是等价元素，所以

方法2：从10人中任选4任

4C10210

通过计算，同学们发现了什么？

344

C9C9C10下面，我们对这个性质进行归纳推理得到

性质2 mmm1CnCC

1nn

下面，我们对性质2进行一个合理的解释：

从n+1个不同元素中取m个元素可分为包含元素a与不包含元素a两种情况。

m1mmCCC注意：公式变形nn1n

下面，我们利用性质2解下列练习题

012181、求值

C3C4C5...C21

n5321CnCn2、解不等式

22Cn2Cn2

9796953、化简C

982C98C98

97A.C9997B.C10098C.C9998D.C100

以上就是，我们这节课所要学习的主要内容，下面，我们对本节课进行一下小结，

四、课时小结

1、组合数的两个重要性质

mnm

性质1 CnCn性质2 mmm1

CnCC1nn

3

2、注意组合数Cmn中m、n的取值范围0mn且m、nN

五、作业与练习

1、计算

(1)C598C78C1007

(2)C55C555C67C8

5n9

(3)CCnnn1

2、解方程

Cx23x2516Cx516

六、课后反思

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