一 数学归纳法教学设计和教学实录

4.1 数学归纳法

教学目标：

1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；

2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。

教学过程：

一、创设情境，引出课题

（1）完全归纳法：

盒中有10个小球，如何验证它们都是红色的？ （将盒打开，取出小球，逐一进行验证。）

（2）不完全归纳法：

已知：

－1＋3= 2 －1＋3－5= －3 －1＋3－5＋7= 4 －1+3－5＋7－9=－5 可猜想：

－1+3－5＋

…＋（－1）n（2n－1）＝（－1） n 注：对于以上二例的结果是非常明显的，用以上二题引出数学归纳法。

结论：不完全归纳法→结论不可靠；

完全归纳法→结论可靠。

问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）

情境一：（播放多米诺骨牌视频）

问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

二、讲授新课：

用数学归纳法证明:当n≥2，n∈N＋时，

n1－11－11－1…1－12＝n＋1. 4916n2n132＋13(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝. 442×24∴当n＝2时，等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即：

1－11－11－1…(1－1)＝k＋1

4916k22k

1

当n＝k＋1时，1－1411－9…11－k21－1k＋＝k＋1122k1－k＋2

＝k＋1·kk＋k＋2k＋＋12kk＋2＝k＋＝k＋. ∴当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式成立．

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n*0(n0N)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn*0,kN)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

探究一：用数学归纳法证明等式

证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,命题成立.

即当n=k+1时命题成立.

由(1)(2)可知,命题对任意n∈N都成立+.

探究二：用数学归纳法证明整除问题

求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．

证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N2k2k＋)时，x－y能被x＋y整除，

那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2

＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k

＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)

2

∵x－y与x－y都能被x＋y整除，

∴x(x－y)＋y(x－y)能被x＋y整除．

即n＝k＋1时，x2k＋222k2k2k222k2k22－y2k＋2能被x＋y整除．

由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．

探究三：用数学归纳法证明几何问题

12平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n＋n2＋2)个区域．

12证明：(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，又×(1＋1＋2)＝2，

2∴n＝1时命题成立．

12(2)假设n＝k时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k＋k＋2)个区域．那么当n＝k212＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了(k＋k＋2)个区域，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋2121段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k＋1个区域，所以k＋1条直线把平面分成了(k＋21k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．

2∴n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立．

三、巩固练习：

1.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝

n2.用数学归纳法证明：(3n＋1)7－1(n∈N＋)能被9整除．

3.求证：凸n边形对角线条数f(n)＝四、课堂小结：

两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 五、布置作业：

教材：习题4.1 1、2、3、题.

13n(n1)(n2)

nn－2(n∈N＋，n≥3)．

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