3.三个正数的算术-几何平均不等式课件配套优秀公开课教案设计

3．三个正数的算术-几何平均不等式

1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程．

2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值．

3．会用平均不等式解决实际中的应用问题．

,

[学生用书P9])

1．三个正数的算术-几何平均不等式(定理3) a＋b＋c3如果a，b，c∈R＋，那么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

32．基本不等式的推广

a1＋a2＋…＋an对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即n≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值．(

) a1＋a2＋…＋ann(2)≥a1a2…an只对n＝2和n＝3的情形适用．(

) n(3)算数-几何平均不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大值为(

) A．2

B．27 C．8

D．3 解析：选C.因为a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝6，

a＋b＋c363所以abc≤3＝3＝8，

当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．

43．函数y＝2x2＋(x∈R＋)的最小值为(

) xA．6

B．7 C．8

D．9 答案：A

用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式[学生用书P9] 1119

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥. a－bb－cc－da－d【证明】

因为a＞b＞c＞d，

所以a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，a－d＞0，

111所以a－b＋b－c＋c－d(a－d)

111＋＋＝a－bb－cc－d[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]

≥33n

1113··×3（a－b）（b－c）（c－d）＝9，

a－bb－cc－d

1119＋＋≥，当且仅当a－b＝b－c＝c－d时，等号成立．

a－bb－cc－da－d

证明不等式的方法

(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．

(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子．

1.已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 证明：因为x＞0，y＞0，

即所以1＋x＋y2≥33xy2＞0，

1＋x2＋y≥33x2y＞0，

故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.

12．已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋2≥2y＋3. x－2xy＋y2证明：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，

1所以2x＋2－2y

x－2xy＋y21＝2(x－y)＋

（x－y）21＝(x－y)＋(x－y)＋

（x－y）21（x－y）2＝3，

（x－y）21等号成立的条件是＝x－y，即x－y＝1.

（x－y）21所以2x＋2≥2y＋3. x－2xy＋y2≥33

利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值[学生用书P10] 4

求函数y＝x＋(x>1)的最小值．

（x－1）24【解】

因为x>1，所以x－1>0，y＝x＋

（x－1）2114＝(x－1)＋(x－1)＋＋1

22（x－1）2114（x－1）·（x－1）·＋1＝4，

22（x－1）2114当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，

22（x－1）2即x＝3时等号成立．即ymin＝4.

用平均不等式求最值的注意点

(1)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．

(2)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．

1

若x>0，求函数y＝4x2＋的最小值．

x≥33

解：因为x>0，

111所以y＝4x2＋＝4x2＋＋

x2x2x114x2··＝3.

2x2x1当且仅当4x2＝(x>0)，

2x1即x＝时，取“＝”，

21所以当x＝时，

21y＝4x2＋(x>0)的最小值为3. x≥3 3

应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题[学生用书P10]

如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．众所周知，灯挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，sin θ而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k2.这里k是一个和灯光强度有关的常r数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

2【解】

因为r＝，

cos θsin θcos2θπ所以E＝k·(0<θ<)．

422222kk2k22sinθ＋cosθ＋cosθ3k2224222所以E＝·sinθ·cosθ＝·(2sinθ)·cosθ·cosθ≤·1632323＝108.

当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，

所以h＝2tan θ＝2时，E最大．

sin θcos2θ本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进行变形求得E的最大4值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用均值不等式的形式，若符合条件“一正，二定，三相等”即可求解．

1.用长度为72 cm的铁丝截成12段围成一个长方体，当它的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大值是多少？

解：设长、宽、高分别为x，y，z，

则x>0，y>0，z>0，

且4(x＋y＋z)＝72，

即x＋y＋z＝18.

x＋y＋z3183所以体积V＝xyz≤3＝3＝216.

当且仅当x＝y＝z＝6时，Vmax＝216.

因此当长方体的长、宽、高均为6 cm时，其体积最大，最大值为216 cm3.

2．已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．

H－hr解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得＝，

HR

R所以r＝(H－h)．

HπR22所以V圆柱＝πrh＝2(H－h)2h(0

H根据均值不等式可得

4πR2H－hH－h4πR2H3V圆柱＝2···h≤23

H22H4＝πR2H.

27H－h14当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H. 2327

a＋b＋c31．对不等式≥abc的理解

3(1)在不等式中a，b，c的范围是a>0，b>0，c>0，等号成立的条件是a＝b＝c. a＋b＋c3a＋ba1＋a2＋…＋ann≥abc与≥ab都是≥a1a2…an的特例，它们统称为均32n值不等式．因此与基本不等式的应用是一样的．

(2)a＋b＋c(3)将不等式a3＋b3＋c3≥3abc中的a，b，c分别以3a，3b，3c代替就可得到3≥3abc. 2．定理3的两个推论

(1)当abc为定值时：

a＋b＋c≥33abc，当且仅当a＝b＝c时取等号．

(2)当a＋b＋c为定值时：

a＋b＋c3abc≤3，当且仅当a＝b＝c时取等号．

3．用定理3求最值时的关注点

一“正”：项或因式为正．

二“定”：项(因式)的和或积为定值．

三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立．

1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则(

) A．x＋y＋z的最大值是32 B．x＋y＋z的最大值是332 C．x＋y＋z的最小值是32 D．x＋y＋z的最小值是332 解析：选D.由三个正数的算术-几何平均不等式，得x＋y＋z≥33xyz＝332，当且仅当

x＝y＝z＝32时，x＋y＋z取得最小值332.

2．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为(

) A．2

B．3 C．4

D．6 bb解析：选C.因为ab2＝4a××

22a＋b＋b322

≤43a＋b3＝4＝4×13＝4，

3b当且仅当a＝＝1时，等号成立．

22即ab的最大值为4. 13．已知0＜x＜，则x2(1－2x)的最大值为________．

21解析：因为0＜x＜，所以1－2x＞0，

2x＋x＋（1－2x）31112则x(1－2x)＝x·x(1－2x)≤＝3＝.当且仅当x＝1－2x，即x＝时333271等号成立．故x2(1－2x)的最大值为.

271答案：

2744．当x>0时，(1)求y＝x＋2的最小值．

x27(2)求y＝x＋3的最小值．

x4xx4解：(1)因为x>0，所以y＝x＋2＝＋＋2

x22xxx4··＝3.

22x2x4当且仅当＝2，即x＝2时，ymin＝3.

2x27xxx27(2)因为x>0，所以y＝x＋3＝＋＋＋3

x333x≥33≥4427x·3x3＝4.

3x27当且仅当＝3，即x＝3时，ymin＝4.

3x,

[学生用书P12])

[A

基础达标] 1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是(

) 4A．y＝x2＋2x＋3≥3x1B．y＝2＋x＋≥3x334x2·2x·3＝6，所以ymin＝6 x12·x·＝332，所以ymin＝332 x

1C．y＝2＋x＋≥4，所以ymin＝4 x13x＋（1－x）＋（1－2x）388D．y＝x(1－x)(1－2x)≤＝，所以ymax＝

381381a＋b＋c解析：选C.A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3abc(a，b，c∈R＋)和abc≤3331(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，因为x＞0，所以y＝2＋x＋＝2x11x＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

＋xxx2．已知x＋2y＋3z＝6，则2＋4y＋8z的最小值为(

) A．336

B．22 C．12

D．1235 解析：选C.因为x＋2y＋3z＝6，所以2x＋4y＋8z

≥32x·4y·8z＝32x等号成立．

23．函数y＝x2＋1＋(x＞0)的最小值是(

) xA．332x

C．3

B．332 D．4 33＋2y＋3z2＝3326＝12.当且仅当x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时，311解析：选D.由题意，y＝x2＋＋＋1，

xx因为x＞0，

31111所以y＝x2＋＋＋1≥3x2··＋1＝4，

xxxx1当且仅当x2＝，即x＝1时，函数取得最小值4.故选D.

x4．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(

) A．(－∞，lg 6]

B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞)

D．[3lg 2，＋∞) 解析：选B.因为x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝6，

x＋y＋z3所以lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg3

＝lg 23＝3lg 2，

当且仅当x＝y＝z＝2时，有最大值为3lg 2.

5．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(

) A．V≥π

B．V≤π

11C．V≥π

D．V≤π

886－4r解析：选B.设圆柱半径为r，则圆柱的高为h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝26－4rr＋r＋3－2r322πr·＝πr(3－2r)≤π23＝π.

当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．

6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．

a＋b＋c31解析：设这三个正数分别是a，b，c，则a＋b＋c＝1，所以abc≤3＝27，当

11且仅当a＝b＝c＝时，abc取得最大值.

3271答案：

2717．若a>b>0，则a＋的最小值为________．

（a－b）b解析：因为a>b>0，

所以a－b>0.

11所以a＋＝(a－b)＋b＋

（a－b）b（a－b）b1（a－b）·b·＝3，

（a－b）ba－b＝ba＝2ba＝2当且仅当，即⇒时等号成立，

13b＝b＝1b＝1（a－b）b所以当a＝2，b＝1时原式有最小值3.

答案：3 8．若实数x，y满足x，y>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是________．

2解析：由x2y＝2，得y＝2，代入xy＋x2，得

x2211xy＋x2＝x·2＋x2＝＋x2＝＋＋x2≥3，

xxxx1当且仅当＝x2，

x即x＝1，y＝2时取等号．

答案：3 9．已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．

解：因为y＝x(1－x2)，

1所以y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)×.

2因为2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，

22234212x＋1－x＋1－x所以y≤＝.

23273当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，

32323所以|y|≤，即y的最大值为.

99110．设a，b，c为正实数，求证：a3＋b3＋c3＋≥23. abc≥33证明：因为a，b，c为正实数，所以a3＋b3＋c3≥33a3b3c3＝3abc＞0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

11又3abc＋≥23，当且仅当3abc＝时，等号成立．

abcabc1所以a3＋b3＋c3＋≥23.

abc[B

能力提升] 1111．已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，＋＋＝10，则abc的取值范围是________．

abc解析：由a＋b＋c＝1可得1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)，

1故有0＜ab＋bc＋ac≤.

3

111ab＋bc＋ac因为＋＋＝＝10，

abcabc11所以abc＝(ab＋bc＋ac)，所以0＜abc≤.

103010，

答案：301112．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．

3a＋23b＋23c＋2解析：因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，

所以(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.

111于是3a＋2＋3b＋2＋3c＋2[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥

3331·

（3a＋2）（3b＋2）（3c＋2）3（3a＋2）（3b＋2）（3c＋2）＝9，

1当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，

3111111即＋＋≥1，故＋＋的最小值为1.

3a＋23b＋23c＋23a＋23b＋23c＋2答案：1 3．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．

xx解：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥66x2y3z，

22x当且仅当＝y＝4z时，取“＝”.

所以x2x3z≤121所以x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.

44．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格ax(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格x－3为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

a解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.

22(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，

x－3所以商场每日销售该商品所获得的利润

22f(x)＝(x－3)x－3＋10（x－6）

2＝2＋10(x－3)(x－6)，3＜x＜6，

f(x)＝2＋5(2x－6)(x－6)2

2x－6＋6－x＋6－x3≤2＋53

＝42.

当且仅当2x－6＝6－x即x＝4时等号成立．

当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．