二 一般形式的柯西不等式优秀教学实录

柯西不等式教学设计

一、

教学目标：

1、

知识目标：

1代数形式；○2向量形式。

（1）

认识二维柯西不等式的两种形式：○1代数方法；○2向量方法。

（2）

学会二维柯西不等式的两种证明方法：○（3）

了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。

2、

能力目标：

（1）

学会运用柯西不等式解决一些简单问题。

（2）

学会运用柯西不等式证明不等式。

（3）

培养学生知识迁移、自主探究能力。

3、

情感、态度、价值观目标：

通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。

二、

教学重点与难点：

1、

教学重点：

1代数形式；○2向量形式。

（1）

二维柯西不等式的两种形式及其证明：○（2）

探究一般的柯西不等式形式。

2、

教学难点：

（1）

柯西不等式的证明思路。

（2）

运用柯西不等式解决问题。

三、

教学方法：探究法、讲述法。

四、

教学过程及内容：

1、

单刀直入，通过基本不等式题(a2a2b22ab引出平方和与乘积的关系，直接引入主b)(c22d)(a,b,c,d为实数)2：

2【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式ab22ab，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式——柯西不等式，它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子(a2b)(c22d)(a,b,为c,实d数2

)【生】：全神贯注地看黑板。

【师】：在黑板展示：(a由于a22b)(c2222d)=ac222222bd222ad222bc22

2c2bdadbc(acbd)(adbc)

因此(a2所以(a2b)(c222d2)(acbd)2(adbc)2

b)(c2d)(acbd)22

当且仅当adbc0时，等号成立。

【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。

2、

讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：

二维形式的柯西不等式：

若a,b,c,d都是实数，则(a2当且仅当ad

推论一：推论二：

3、

练习巩固新知识：

例一：已知a,b为实数，证明：(a4【生】：动笔演算。

【讲解】：利用柯西不等式，

(a4b)(c22d)(acbd)22

bc0时，等号成立。

a2b2c2d2acbd

a2b2c2d2acbdb)(a42b)(a23b)32

b)(a2242b)2222[(a)(a3(b)](a32b)(a22ab2b)2

b)例二：求函数y3x546x的最大值。

【生】：动笔演算。

【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。

【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即

y3x546x(324)[(x5)(6x)]5134252。

当且仅当4

x536x，即x时，函数有最大值5。

4、

讲解柯西不等式的向量形式：

在平面直角坐标系中，,[0,，则]

(a,b),(c,d),

||||cosacbd

又||a2b,||2c2d2,

而|即|ac||||||cos|||||

bd|a2b2c2d2

bc当且仅当,共线时，等号成立，即ad

柯西不等式的向量形式：

设

,是两个向量，则

，

k当且仅当是零向量，或存在实数k，使得又称之为Cauchy-Schwarz不等式。

时，等号成立。

5、

通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式：

三维形式的柯西不等式：

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2222222

时，等号成立。

当且仅当bi

0(i1,2,3)，或存在k使得aikbi(i1,2,3)6、

三维柯西不等式巩固练习：

例三：设x1,x2,x3为正数，求证：(x1【生】：动笔演算。

【讲解】：利用柯西不等式，

(x1x2x3)(1x11x21x3)(x11x1x21x2x31x3)2x2x3)(1x11x21x3)9

9

7、

探究一般形式的柯西不等式：

【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？

【生】：踊跃回答：(a12a2…+an)(b1b2+…bn)(a1b1a2b2+…anbn)222222

【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。）下面我们先来看一个例题：

例四：设x1,x2,,xnR,求证：

x12x22xn1xn2xnx12x2x3≥x1x2xn

【讲解】：在不等式左端乘以因式x12x1x2xn，由柯西不等式，得

x22xn1xn2xnx12x2x3x1x2x2x1x2x222(x22x3xnx1)2x2x3x3xn1xn2xnx12xn2xnx12xnx1x1

≥x2x2x3x3xn1xnx1xn2,于是

x12x22xn1xn2xnx12x2x3≥x1x2xn

8、

小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。

五、

板书设计：

柯西不等式

二维形式的柯西不等式：

若a,b,c,d都是实数，则(a当且仅当ad

推论一：推论二：abc022222b)(cd)(acbd)

时，等号成立。

2b2c2d2acbd

a2b2c2d2acbd

柯西不等式的向量形式：

设

,是两个向量，则，

当且仅当是零向量，或存在实数k，使得

三维形式的柯西不等式：

k时，等号成立。

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2222222

kbi(i1,2,3,)当且仅当bi

0(i1,2,3)，或存在k使得ai时，等号成立。

一般形式的柯西不等式：

(a1a2…+an)(b1b2+…bn)(a1b1a2b2+…anbn)2222222

时，

当且仅当bi0(i1,2,…，n)，或存在k使得aikbi(i1,2,…，n)等号成立。