1.2.2 空间中的平行关系教案（名师）

1.2.2 空间中的平行关系

本溪市第一中学

张智丽

一、教材分析

1、本节知识结构

2、教材的地位及作用，

直线与平面的位置关系问题是研究立体几何的核心问题，高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，尤其是以多面体为载体的线面位置关系的论证是历年高考的必考内容，对空间线线平行与垂直，线面平行与垂直，面面平行与垂直的定义，判定与性质进行考查，其中线面及面面的平行与垂直是核心，其中既有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以空间角、距离或以简单几何体的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题。选择题、填空题的形式考查概念性的知识和判定定理、性质定理的简单应用；以解答题的形式结合几何体的结构特征考查对平行与垂直的判定定理、性质定理的综合运用以及空间想象能力和逻辑思维能力。

立体几何分成两章。第一章是

“空间几何体”，与原来的教材区别很大。从现实世界中具体实物的整体观察入手，认识最基本的空间几何图形（柱、锥、台、球）及其直观图的画法，并了解这些简单几何体的表面积与体积的计算方法。通过直观感知，操作确认，从整

体上把握空间图形的特征。然后，在第二章中，再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、直线、平面的概念及其相互位置关系；通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解有关直线和平面平行、垂直的性质与判定，论证一些有关空间直线和平面位置关系的简单命题。 二、学情分析

1、学情分析：

（1）学生基础薄弱，空间想像能力不足；（2）教科书整体编排内容覆盖面过广且容量大；（3）学生学习方式和方法还不能适应高中新课程的要求，虽然学生经过第一个学段的学习后，学习方式有了转变，但转变的幅度还不够大，还不能完全适应新课程的需要．为了面向全体学生，夯实学生基础，增加课时，稍微放慢教学进度，尽可能让每个学生不但学会，而且会学和乐学。

2、教学注意事项：

在实际的教学设计中：首先，在教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，要尽可能多地让学生感知实物，在直观感知中理解图形的特征，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题之间的互相转化方法和思想．

其次，要多让学生动手操作，在学习过程中通过直观的操作，可以弥补空间想像能力的不足，进而较快地入门。让学生身边常备一个模型，在想像不出位置关系时可以进行观察。有利于学生学习兴趣的培养，从而有利于学生对几何体的把握。充分借助于多媒体的优势，

利用几何画板等软件的动态演示，深入探索，有利于学生学习的主动性的发挥。

第三，在教科书中，各节根据需要，开设了“思考”、“观察”和“探究”等栏目，增加了教材旁注，并且多处提到解决问题的基本数学思想方法．如直线与平面平行判定定理的旁注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）．紧跟着例1完了以后，又指出：今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可以断定已知直线与这个平面平行．这有利于提高学生自主学习的能力，使学生不但学会数学，而且会学数学．

把学生作为学习的主体来编排内容，符合新课程的理念．有利于学生开展自主和合作学习，实现教师教学和学生学习双重行为方式的转变．

正确理解立体几何中，较容易处理的问题采用合情推理和综合方法处理，而较难处理的问题放在后面采用代数的方法（选修部分-空间向量与立体几何）的目的．一是有利于刚开始把更多的时间和精力放在培养学生空间感和对数学思想方法的掌握上．二是有利于化难为易，改变学生对立体几何的态度，建立起学生学好立体几何的信心．三是有利于加强了几何与代数的联系，培养学生数形结合的思想，完善学生对数学的认知结构．

三、考情分析

高考试题分析：其中既有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以空间角、距离或以简单几何体的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题。也以选择题、填空题的形式考查概念性的知识和判定定理、性质定理的简单应用；以解答题的形式结合几何体的结构特征考查对平行与垂直的判定定理、性质定理的综合运用以及空间想象能力和逻辑思维能力。

四、教学目标及重点难点

（一）根据考纲的要求和高考命题的特点，将本节课的教学目标确定为：

1、知识与技能：

（1）通过本节的学习，能通过直观感知得到直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理，并会用定义或定理判断直线与平面、平面与平面是否平行。

（2）通过本节的学习，学生将学会直线与平面平行的有关性质及应用，还将学会平面与平面平行的有关性质及应用。

2、过程与方法

（1）教科书按照“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程展开，通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面、平面与平面平行的判定定理（2）教科书通过具体例子引出了直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的安排方式一样。

3、情感、态度与价值观

通过本节的学习，可以引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数

学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要推理方式，培养正确分析问题的方法。

（二）教学重点和难点

重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判断定理和性质

。

难点：性质定理的证明。五、课时分配

本节直线、平面平行的判定及其性质，需要4课时。

内容归纳总结

分析解决问题的常用方法

直线与平面平行的判定

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”

平面与平面平行的判定

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平[来源:Zxxk.Com][来源:学§科§网Z§X§X§K]

行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”

直线与平面

1）四个定理

分析解决问题的常定理

定理内容

符号表示

用方法

在已知平面内平面外的“找出”一条直线与一条直线与平直线与平面平行的判定

线与此平面平题”转化为“平面问行。

题”

判定的关键：在一个平面平面与平内的两条相交a,b,面平行的直线与另一个判定

abP,a//,b////已知直线平行就可面内的一条直a,b,且a//b线平行，则该直a//

以判定直线与平面平行。即将“空间问一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”

平面平行，则这

两个平面平行。

直线与平一条直线a//,a,ba//b面平行的与一个平面平性质

行，则过这条直

线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

如果两个平面与平平行平面同时//,a,面平行的和第三个平面ba//b

性质

相交，那么它们的交线平行。

定理之间的关系及其转化

两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。

应用举例

现利用举例说明将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”的运用。

（一）“线线平行”与“线面平行”的转化问题

例1. 设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8,

（1）证明PQ∥平面AA1B1B；

（2）求线段PQ的长.

图8 (1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=AD,NQ∥A1D1,NQ=A1D1, ∴MP∥ND且MP=ND. ∴四边形PQNM为平行四边形. ∴PQ∥MN. ∵MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B, ∴PQ∥面AA1B1B. 证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点, ∴PQ∥AB1,且PQ=AB1. ∵PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B, ∴PQ∥面AA1B1B. (2)解:方法一:PQ=MN=A1M2A1N2方法二：PQ=AB1拓展提升

122a. 22a. 2121212

1. 如图11，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.

图11 求证:AM∥平面BDE. 证明：设AC∩BD=O，连接OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，

∴四边形AOEM是平行四边形. ∴AM∥OE. ∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

2. 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB. （1）求证：CD∥α;

（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB与CD所成角的大小. （1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,

图16 ∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF. 又∵F为BD中点,

∴G为AD中点. 又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.

（2）解：由（1）证明可知：

∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5. 在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.

（二）

“线面平行”与“面面平行”的转化问题

［例2］如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF. 求证：EF∥平面BB1C1C. 证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC

∴△AFD∽△MFB

∴AFDF

FMBF又∵BD＝B1A，B1E＝BF

∴DF＝AE

∴AFAE

FMB1E

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C

∴EF∥平面BB1C1C. 证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE

∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB1C1C

∴FH∥平面BB1C1C

由FH∥AD可得BFBH

BDBA又BF＝B1E，BD＝AB1

∴B1EBH

AB1BA[来源:学§科§网]∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C∴EH∥平面BB1C1C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

［例4］如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B. 分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.

分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1. 6.布置作业

习题A组3、4、5、6、7、8

总结：直线和平面平行的判定定理可以简述为“线线平行，则线面平行”.在应用判定定理时一定要把条件交待清楚，做到有理有据，线线平行

＝> 线面平行

＝> 面面平行，这是证明面面平行的一般思路。一些题中，多次作辅助线，对于作辅助线或辅助面应遵守立体几何作图规则，不能用虚线，应根据要求或实、或虚.对于空间点，线、面之间的关系，着重于掌握基本知识，基本图形，建立空间想象能力和逻辑思维能力.