2.3.2 圆的一般方程教案评析

2.3.2 圆的一般方程

学习目标

1．掌握圆的一般方程及其特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；能将圆的标准方程转化为圆的一般方程．

2．理解圆的一般方程的结构，掌握利用待定系数法求圆的一般方程的方法．

3．了解一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．

基础知识

1．圆的一般方程

圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是__________．

做一做1－1

下列方程中表示圆的是(

) A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0 B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0 C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋9＝0 2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

方程

条件

________

图形

不表示任何图形

表示一个点，点的坐标为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 22________

________ D＋E－4F＞0

__________为半径的圆

22表示以__________为圆心，以知识拓展

二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆必须具备以下两个条件：

①A＝C≠0，B＝0；

②D2＋E2－4AF＞0. 做一做2－1

若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m满足的条件是(

) 111A．m＜

B．m＜10

C．m＞

D．m≤

222做一做2－2

已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是

__________．

做一做2－3

方程x3＋xy2－2x2＋2xy＋2x＝0表示的图形是__________．

重点难点

1．求圆关于一个点或一条直线对称的圆的方程的问题

剖析：要求圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2关于点P(x0，y0)对称的圆的方程，首先找圆心C(a，b)关于点P(x0，y0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变．

如：求圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程．因为已知圆的圆心是(－2,0)，它关于原点的对称点是(2,0)，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. 同理求圆关于直线mx＋ny＋p＝0对称的圆的方程，只需求圆心关于直线的对称点．

如：已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，求圆C的方程，我们可以通过设b11，a0，a1圆心(1,0)关于y＝－x对称的点为(a，b)，则得

a1bb1，，22所以所求圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1. 2．圆的标准方程与一般方程的比较

剖析：(1)圆的标准方程，需要确定圆心的坐标和圆的半径；而圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数D，E，F.圆的一般方程也含有三个参变量，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆．

(2)圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程表明了方程形式上的特点．

典型例题

题型一

求圆的一般方程

例1

求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程．

反思：用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择：一般地，已知圆上三点时用一般方程；已知圆心或半径时，用标准方程．

题型二

圆的方程中参数范围问题

例2

已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．

反思：本题考查二元二次方程表示圆的条件，同时考查点与圆的位置关系的判定方法及两种形式互化问题．

题型三

求圆关于点(线)对称的圆

例3

试求圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称的曲线C′的方程．

反思：圆关于点(线)对称的圆的大小不变，即半径不变，改变的只是圆的位置即圆心位置，所以只需求出已知圆的圆心关于对称点(线)对称的点即为所求圆的圆心，就能确定对称圆的方程．

题型四

易错辨析

例4

已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．

错解：设M(x，y)是所求轨迹上的任意一点，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)．

∵CM⊥AM，∴kCMkAM＝－1，

y－3y＋5即·＝－1，

x－3x＋3整理得x2＋(y＋1)2＝25. ∴所求动点M的轨迹方程是x2＋(y＋1)2＝25. 错因分析：忽视了动点一定在已知圆内这个大前提，因此求出轨迹方程后，要有检验意识．

随堂练习

1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值是(

) A．－1

B．2

C．－1或2

D．1 2.过点P(－2,1)且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是(

) A．3x－y＋5＝0

B．x－3y＋5＝0 C．3x＋y－5＝0

D．x－3y－5＝0 3.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(

) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 4.圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0的圆心为__________，半径为__________．

5.若直线l将圆x2＋y2－4x－2y＝0平分，并且l不经过第二象限，则直线l的斜率的取值范围是__________．

参考答案

基础知识

1．D2＋E2－4F＞0 做一做1－1

【答案】D

DEDE122－，－

－，－

2．D2＋E2－4F＜0

D2＋E2－4F＝0

D＋E－4F

22222做一做2－1

【答案】A

111x－2＋y＋2＝－m. 【解析】方程x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为222∵方程表示圆，

11∴－m＞0，即m＜. 22做一做2－2

【答案】2

2【解析】由x2－4x－4＋y2＝0得(x－2)2＋y2＝8，即圆心为P(2,0)，

|2－1|2故点P到直线x－y－1＝0的距离为＝. 22做一做2－3

直线(y轴)或点(1，－1)

由题意，得x[(x－1)2＋(y＋1)2]＝0，

x＝1，∴x＝0或

y＝－1，

∴方程表示的图形为直线(y轴)或点(1，－1)．

典型例题

例1

解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.

①②

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③

设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36.④

由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. 例2

解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，

∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，

1即7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1. 71－，1. 故t的取值范围是7(2)r＝－7t2＋6t＋1＝316t－2＋. －777

1347－，1时，rmax＝当t＝∈，此时圆的面积最大．

777241316x－2＋y＋2＝. 对应的圆的方程是7497(3)当且仅当t2＋1＜－7t2＋6t＋1时，点P恒在圆内，

3∴8t2－6t＜0，解得0＜t＜. 430，. 故t的取值范围是4例3

解法一：设P′(x，y)为所求曲线C′上任意一点，P′关于l的对称点为P(x0，y0)，

则P(x0，y0)在圆C上．

x＋xy＋y2－2＋1＝0，由题意可得y－y1＝－1，x－x·0000

x0＝y－1，解得(*) y0＝x＋1.

因为P(x0，y0)在圆C上，

2所以x20＋y0－x0＋2y0＝0，将(*)代入，

得(y－1)2＋(x＋1)2－(y－1)＋2(x＋1)＝0. 化简，得x2＋y2＋4x－3y＋5＝0，

即曲线C′的方程是x2＋y2＋4x－3y＋5＝0. 解法二：(特殊对称) 圆C关于直线l的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心C′，

13，－1关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为C′－2，，因此所求圆C′的方程为(x圆心C2235y－2＝. ＋2)2＋24例4

正解：方法一：设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)．

∵CM⊥AM，∴kCMkAM＝－1，

y－3y＋5即·＝－1，即x2＋(y＋1)2＝25. x－3x＋3∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．

方法二：设过A点的弦PQ的中点坐标为M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为P，Q两点都在已知圆上，

22x1＋y1－6x1－6y1＋14＝0，所以22x2＋y2－6x2－6y2＋14＝0.

①②

222由②－①得(x2－x21)＋(y2－y1)－6(x2－x1)－6(y2－y1)＝0，

即(x1＋x2－6)(x2－x1)＋(y1＋y2－6)(y2－y1)＝0. 当x1＝x2时，直线方程为x＝－3，显然不符合题意．

y1＋y2－6y2－y1当x1≠x2时，·＝－1. x1＋x2－6x2－x1y2－y1y＋5y－3y＋5而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，＝kPQ＝，所以·＝－1.整理得x2＋(y＋1)2＝25. x2－x1x＋3x－3x＋3∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．

随堂练习

1．【答案】A

a＝a＋2，【解析】由2a2可得a＝－1或a＝2(舍)．

a2－4×>0，2aa2．【答案】B

3．【答案】C 4．【答案】(2,1)

2 15．【答案】2，＋∞

【解析】由已知直线l过圆的圆心C(2,1)，又l不过第二象限，

1结合图示可知直线l的斜率k≥kOC＝. 2

2