小结教学设计与反思

超几何分布与二项分布

【教学目标】

知识与技能：通过超几何分布与二项分布的对比研究，掌握这两类分布列模型的甄别方法，并能解决一些具体的问题。

过程与方法：通过对比研究，利用学生主动探究、相互交流，培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决问题的能力，通过主动感受数学建模的过程中的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。

情感态度与价值观：培养学生对已有知识归纳和抽象的能力，形成勇于利用数学建模思想探索的精神，培养学生的表达、主动参与和合作精神。

【教学重点、难点】

教学重点：超几何分布与二项分布模型的甄别和模型中条件的挖掘。

教学难点：超几何分布与二项分布模型的构建和甄别。

【教学方法】导学案教学

【教学过程】

例1．一个口袋中有10个大小相同的球，其中8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．

（1）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列；

（2）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列．

概率模型

随机变量服从哪一类分布

分布列的解析表达式

问题（1）

古典概型

超几何分布

问题（2）

独立重复试验

1二项分布

X~B3，

53k14P(Xk)C55k3k

k3kC2C8P(Yk)，k=0,1,2 3C10k=0,1,2,3 超几何分布H(n,N,M)：

这两类分布列模型的完整的解析表达式

knkCMCNMP(Xk)nCN二项分布X~B(n,p)：

kkP(Xk)Cnp(1p)nkk0,1,,m,其中mmin{M,n}k0,1,,n

①在一次试验中试验结果只有A与A这一个总体(共有N个)内含有两种不同这两类分布列的事物A(M个)、B(NM个),任取n模型甄别依据

个,其中恰有X个A. 两个,且事件A发生的概率为p，事件A发生的概率为1p；

②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是p，则事件A发生的概率为1p．

这两类分布列的区别

不放回抽取

随机变量取值可能是0～m 放回抽取（独立重复）

随机变量取值可能是0～n ▲本题教学目标：复习超几何分布与二项分布的解析表达式，概况这两类分布列模型甄别依据。

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例2．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品，随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列．

△做题前请思考：（1）随机变量X服从哪一类分布？为什么？

（2）解题过程中最容易出错的地方在哪里？

解：由题可知随机变量X服从超几何分布，X可能取值为0,1,2,3．

3021C4C6C4C631，P(X1)，

P(X0)33C1030C10101203C4C61C4C1P(X2)3，P(X3)36．

C102C106故X的分布列为：

X

0 1 2 3 P

1

303

101

21

6△请归纳本题的基本结构（超几何分布模型）：

一个总体(共有

个)，内含有两种不同的事物A（有

个）、事物B（有

个），任取

个，记事物A的个数为

X

（随机变量），X的可能取值为

，X的分布列解析表达式为

．

▲本题教学目标：归纳出超几何分布的模型，分析研究超几何分布模型时所需要的条件是什么。

请根据例2，模仿编写一道考题：

▲模仿编题的目的：巩固超几何分布的模型条件的，是具体问题抽象为超几何分布模型反向过程，有利于对超几何分布模型的理解。

例3．在学校教师趣味投篮比赛中，已知教师甲投进每个球的概率都是2，记教师甲在每场的63次投球中投进球的个数为X，求X的分布列．

△做题前请思考：（1）随机变量X服从哪一类分布？为什么？

（2）这一类问题在解题过程中最容易出错的地方在哪里？

解：依条件可知X~B(6,

2)，X可能取值为0，1，2，3，4，5，6 3kk2P(Xk)C63136k(k0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 1 2 3 4 5 6

故X的分布列为：

X 0 P 1

72912

72960

729160

729240

729192

72964

729△请归纳本题的基本结构（二项分布模型）：

在

次重复试验，只有事件A和A发生，其中事件A发生的概率为

，事件A发生的概率为

，记事件A发生的次数为

X

（随机变量），X的可能取值为

，X的分布列解析表达式为

．

▲本题教学目标：归纳出二项分布的模型，分析研究二项分布模型时所需要的条件是什么。

2

请根据例3，模仿编写一道考题：

▲模仿编题的目的：巩固二项分布的模型条件的，是具体问题抽象为二项分布模型逆向过程，有利于对二项分布模型的理解。

例4．（2010年广东理科）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如右图．

（1）上述抽取的40件产品中任取2件，

设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；

（2）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件

产品的重量超过505克的概率．

△做第（1）问前请完成下来思考：

思考1：第（1）问可以抽象为哪类分布模型？

思考2：第（1）问需要哪些条件，如何获取？

解：（1）由频率分布直方图可知，40件产品中

重量超过505克的产品有(0.05+0.01)×5×40=12个，

重量不超过505克的产品有40－12=28个，

由题意可知随机变量Y服从超几何分布，Y的可能取值为0，1，2．

2112C28C28C12C12635611，P(Y1)，. P(Y2)P(Y0)222C40130C40130C40130故Y的分布列为：

Y P 0 1 2 63

13056

13011

130

△做第（2）问前请完成下来思考：

思考3：第（2）问可以抽象为哪类分布模型？

思考4：第（2）问需要哪些条件，如何获取？

（2）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为(0.05+0.01)×5=0.3，令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，可能取值为0,1,2,3,4,5，则B(5,0.3)，

2故所求概率为：P(2)C5(0.3)2(0.7)30.3087

所以该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率为0.3087．

▲本题教学目标：利用高考题吸引学生的学习兴趣。通过对两个问题的辨析，发现学生在模型的甄别和运用过程中存在的疑难点，同时利用本题规范学生的书写格式。

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教学反思：

在高考的压力下，教师的主要精力还是陷在题海之中，通过老师的演练来实现学生的模仿，再通过学生的重复做题，以形成简单的条件反射，学生似乎学会了模型，却丢掉了产生这些模型思考过程，更不知道数学模型的价值。这样的教学的结果，学生只会做题，而没有体会到数学内在的东西。因此我一直在思考数学课应该怎么上？导学案应该为学生提供些什么？什么是一节有价值的数学课？

我认同一节有价值的数学课应该是能够给予学生影响，而且这种影响应该是多元的和立体的，应该有知识的丰厚、技能的纯熟，更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。然而在这样一节有价值的数学课中，学生的思维过程是隐性的、抽象的，如何才能让老师与同学、同学与同学之间互相看见思维的过程，为此我进行了思维显性化的导学案编写尝试。我在导学案设计中有目的的加入一些环节，有目的地设计图表以提供多元的展示平台，提供有梯度的

“脚手架”以降低思维呈现的难度，并且将教学目标和设计意图明确地告诉学生。我认为在一节有价值的数学课上，学生的思维应该经历“隐性化→显性化→隐性化”的过程，如下图：

个人板演和小组分享

学习过程中思维显性化

学习所得的显性思维内化

隐性的默会知识

循序渐进的“脚手架”

多元的展示“平台”

为了实现思维的显性化，我认为应该让学生多一些板演，同时让学生分析自己思考过程，促使学生反省自己的思维和语言表达。在学习过程中，教师要多发现学生的思维亮点并给予表扬，引导学生学会关注他人和自己的思维过程，并及时调整、改进和重组自己的思维。

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