复习参考题第一课时教学实录

2．4

正态分布

学习目标：

1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．

3.会用正态分布去解决实际问题．

一、知识点：

1．正态曲线

（x－μ）21函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)2σ22πσ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝bφμ，σ(x)dx，则称a随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和

σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．

3．正态曲线的性质

（x－μ）21正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：

2σ22πσ(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

1(3)曲线在x＝μ处达到峰值．

σ2π(4)曲线与x轴之间的面积为

1．

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827；

P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545；

P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973．

探究点1

正态分布密度曲线

生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0，1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求：

(1)X的密度函数；

1x2解：(1)根据题意，知X～N(0，1.5)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x)＝e－. 1.52π4.52探究点2

利用正态分布的性质求概率

已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(

) A．0.6

C．0.3

解析：选C.因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ>4)＝0.2. 由题意知图象(如图)的对称轴为直线x＝2，

B．0.4 D．0.2

P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，

所以P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. 1所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3. 2

设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

解析：因为μ＝2，由正态分布的定义知其图象(如图)关于直线x＝2对称，

c＋1＋c－1于是＝2，

2所以c＝2.

答案：2 探究点3

正态分布的实际应用

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？

【解】

因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率为0.954 5. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率就是0.682 7.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．

某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？

解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，

由正态分布的性质，可知

正态分布N(4，0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.002 7，

而5.70∉(2.5，5.5)，

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．

1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(

) A．0.477

C．0.954

B．0.628 D．0.977 解析：选C.由题意可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y轴对称，又P(ξ>2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954. 2．设X～N(5，1)，求P(6

解：由已知得P(4

P(3

所以P(3

0.271 8所以P(6