一 比较法教学目标设计

第二讲

证明不等式的基本方法

2.1

比较法

A级

基础巩固

一、选择题

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s

C．t＜s

B．t≥s

D．t≤s

解析：s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，所以s≥t.

答案：D

a＋b2．已知a，b都是正数，P＝，Q＝a＋b，则P，Q的2大小关系是(

) A．P＞Q

C．P≥Q

B．P＜Q

D．P≤Q

解析：因为a，b都是正数，

所以P＞0，Q＞0.

2a＋b－（a－b）－(a＋b)2＝所以P2－Q2＝≤0.

222所以P2－Q2≤0.所以P≤Q. 答案：D

113．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为(

) a＋1b＋111A.＞

a＋1b＋111C.≥

a＋1b＋111B.＜

a＋1b＋111D.≤

a＋1b＋1解析：因为a＞b＞－1，所以a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，

b－a1111则－＝＜0，所以＜.

a＋1b＋1（a＋1）（b＋1）a＋1b＋1答案：B

4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为(

) A．a5＞b5

C．a5＝b5

B．a5＜b5

D．不确定

a23解析：由等比数列的性质知a5＝，由等差数列的性质知b5＝2b3a1－b1.又a1≠a3，

2a2（a3－a1）2a23－2a3a1＋a13故a5－b5＝－2b3＋b1＝＝＞0.

a1a1a1因此，a5＞b5. 答案：A

5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(

) A．P＞Q

C．P＝Q

B．P＜Q

D．大小不确定

3a＋132解析：P－Q＝loga(a＋1)－loga(a＋1)＝loga2.当0＜a＜1时，a＋1

3a＋1320＜a＋1＜a＋1，0＜2＜1，

a＋1a3＋1所以loga2＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1a＋133a＋1a＋12＞a＋1＞0，2＞1，所以loga2＞0，即P－Q＞0，所以P＞a＋1a＋1Q.故应选A. 答案：A 二、填空题

116．若－1＜a＜b＜0，则，，a2，b2中最小的是________．

ab11122解析：依题意，有＞，a＞b，故只需比较与b2的大小．

abb1因为b2＞0，＜0，

b1111所以＜b2.所以，，a2，b2中最小的是. babb1答案：

b7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．

解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，1故a＝－2，b＝－不同时成立．

21答案：a＝－2，b＝－不同时成立

28．已知a＞0，1＞b＞0，a－b＞ab，则1＋a与系是________．

解析：因为a＞0，1＞b＞0，a－b＞ab，

1的大小关1－b

所以(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.

1＋a从而＝（1＋a）（1－b）＞1，

11－b所以1＋a＞1.

1－b1

1－b答案：1＋a＞三、解答题

9．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)·(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b. 10．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a. 证明：因为a＞2，则a－1＞1，

所以loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，

loga（a－1）由于

log（a＋1）a

＝loga(a－1)·loga(a＋1)

loga（a－1）＋loga（a＋1）2

＜2loga（a2－1）2，

＝2又因为a＞2，

所以0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，

loga（a2－1）2logaa22＝1，

＜所以22loga（a－1）因此＜1.

log（a＋1）a因为log(a＋1)a＞0，

所以loga(a－1)＜log(a＋1)a. B级

能力提升

1．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝ac－bd，n＝（a－b）（c－d），则m与n的大小关系是(

) A．m＜n

C．m≥n

B．m＞n

D．m≤n

解析：因为a＞b＞0，c＞d＞0，

所以ac＞bd＞0，ac＞bd，

所以m＞0，n＞0.

又因为m2＝ac＋bd－2abcd，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，

又由ad＋bc＞2abcd，

所以－2abcd＞－ad－bc，

所以m2＞n2，所以m＞n. 答案：B 3 5002．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出9可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．

解析：设这种商品的成本费为a元．

月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，

月末售出的利润为L2＝120－2%a，

3 500则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045a－9，

3 500因为a＜，所以L1＜L2，月末出售好．

9答案：月末

3．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{bn}是以2为首项、q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

解：(1)由题设知2a3＝a1＋a2，

即2a1q2＝a1＋a1q.

1又a1≠0，所以2q2－q－1＝0，所以q＝1或q＝－.

2n（n－1）n2＋3nn（n＋3）(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.

222当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝故Sn＞bn.

n（n－1）1－n2＋9n1若q＝－，则Sn＝2n＋·－2＝＝224－（n－9）n.

4（n－1）（n－10）当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，

4故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；

当n＝10时，Sn＝bn；

当n≥11时，Sn＜bn. （n－1）（n＋2）＞0，

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